Question

График линейных функций y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3+b3,y=k4+b4,но не один из которых не параллелен оси абцисс, ограничивают на координатной плоскости параллелограмм,внутри которого лежит начало координат.Найдите знак произведений k1k2k3k4b1b2b3b4.

Answer 1

Среди чисел k1,k2,k3,k4 есть 2 пары равных чисел - у параллелограмма протиположные стороны равны, а графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Пусть для определенности k1=k2, k3=k4. Так что k1*k2*k3*k4=k1^2*k3^2 - произведение двух квадратов, поэтому положительно.

Теперь рассмотрим первую и вторую прямые. Точка (0,0) лежит где-то между ними, поэтому одна из прямых пересекает ось ординат выше нуля, а другая ниже. Ординаты точек пересечения - b1, b2. Поэтому b1*b2<0. 

Аналогично, b3*b4<0. Но тогда k1*k2*k3*k4*b1*b2*b3*b4>0

 

 

Answer 2

Пусть графики линейных функций y=k1x+b1, y=k2x+b2, y=k3x+b3, y=k4x+b4 образуют параллелограмм на координатной плоскости, внутри которого лежит начало координат (0,0).

Для начала заметим, что если одна из функций пар

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнения линейных функций:

1. \(y = k_1x + b_1\) 2. \(y = k_2x + b_2\) 3. \(y = k_3x + b_3\) 4. \(y = k_4x + b_4\)

Условие "не параллельны оси абсцисс" означает, что все коэффициенты \(k_1, k_2, k_3, k_4\) не равны нулю.

Мы знаем, что эти линейные функции ограничивают на координатной плоскости параллелограмм, внутри которого лежит начало координат. Параллелограмм ограничен четырьмя прямыми, которые соединяют соответствующие точки пересечения графиков функций.

Начнем с того, что найдем точки пересечения каждой пары прямых. Для этого приравняем уравнения функций между собой и решим систему уравнений. Например:

1. \(k_1x + b_1 = k_2x + b_2\) 2. \(k_1x + b_1 = k_3x + b_3\) 3. \(k_1x + b_1 = k_4x + b_4\) 4. \(k_2x + b_2 = k_3x + b_3\) 5. \(k_2x + b_2 = k_4x + b_4\) 6. \(k_3x + b_3 = k_4x + b_4\)

Решив эту систему уравнений, мы найдем координаты точек пересечения прямых. После этого, используя эти точки, мы можем построить параллелограмм.

Так как параллелограмм ограничен четырьмя прямыми, у которых угловые коэффициенты не равны нулю, а начало координат лежит внутри параллелограмма, то мы можем утверждать, что произведение всех угловых коэффициентов (\(k_1k_2k_3k_4\)) не равно нулю.

Теперь рассмотрим бесконечно малую окрестность начала координат, например, окружность радиусом \(\varepsilon\), где \(\varepsilon > 0\). Внутри этой окрестности угловые коэффициенты не обращаются в ноль, и следовательно, произведение угловых коэффициентов остается не нулевым. Таким образом, знак произведения \(k_1k_2k_3k_4\) равен знаку этого произведения в бесконечно малой окрестности начала координат.

Поскольку начало координат лежит внутри параллелограмма, то в этой окрестности произведение угловых коэффициентов положительно. Таким образом, знак произведения \(k_1k_2k_3k_4\) равен положительному значению.

Теперь рассмотрим свободные коэффициенты \(b_1, b_2, b_3, b_4\). Поскольку начало координат лежит внутри параллелограмма, то каждая из функций проходит через начало координат, и, следовательно, все свободные коэффициенты равны нулю. Таким образом, произведение свободных коэффициентов \(b_1b_2b_3b_4\) равно нулю.

Таким образом, знак произведения \(k_1k_2k_3k_4b_1b_2b_3b_4\) равен нулю.