Question

Найдите первообразную функцию f(x)=24sin5x×sin7x

Answer 1

F(x)=24*1/2*(cos(5x-7x)-cos(5x+7x))=12(cos2x-cos12x)=
=12cos2x-12cos12x
F(x)=6sin2x-sin12x+C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 24sin(5x) * sin(7x) воспользуемся формулой произведения синусов:

sin(a) * sin(b) = (1/2) * (cos(a - b) - cos(a + b))

В данном случае a = 5x, b = 7x, поэтому:

f(x) = 24 * sin(5x) * sin(7x) = 24 * (1/2) * (cos(5x - 7x) - cos(5x + 7x))

f(x) = 12 * (cos(-2x) - cos(12x))

Далее, мы можем воспользоваться формулой разности косинусов:

cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a + b)/2) * sin((a - b)/2)

В данном случае a = -2x, b = 12x, поэтому:

f(x) = 12 * (-2 * sin((-2x + 12x)/2) * sin((-2x - 12x)/2))

f(x) = -24 * sin(5x) * sin(-7x)

Теперь мы можем заменить sin(-7x) на -sin(7x), так как sin(-x) = -sin(x):

f(x) = -24 * sin(5x) * (-sin(7x))

f(x) = 24 * sin(5x) * sin(7x)

Таким образом, первообразная функции f(x) = 24sin(5x) * sin(7x) равна:

F(x) = -24 * cos(5x) * sin(7x) + C, где C - произвольная постоянная.