Question

Решите систему уравнений 5^(x-y) - 10|3y - x| = 5 |3y-x| - 5^(x-y-1) = -3

Answer 1

Ответ:

Объяснение: решение в файле

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений по порядку. Система состоит из двух уравнений:

1) 5^(x-y) - 10|3y - x| = 5 2) |3y - x| - 5^(x-y-1) = -3

Шаг 1: Рассмотрим первое уравнение и попробуем упростить его. Заметим, что у нас встречаются модули (абсолютные значения). Давайте разберем несколько случаев:

- Пусть 3y - x ≥ 0. В этом случае модуль |3y - x| просто равен выражению 3y - x. Заменим модуль в первом уравнении:

5^(x-y) - 10(3y - x) = 5 - Пусть 3y - x < 0. В этом случае модуль |3y - x| равен выражению -(3y - x) = -3y + x. Заменим модуль в первом уравнении:

5^(x-y) - 10(-3y + x) = 5

Шаг 2: Разберемся с вторым уравнением. Здесь также есть модуль. Рассмотрим два случая:

- Пусть 3y - x ≥ 0. Заменяем модуль во втором уравнении:

(3y - x) - 5^(x-y-1) = -3 - Пусть 3y - x < 0. Заменяем модуль во втором уравнении:

-(3y - x) - 5^(x-y-1) = -3

Шаг 3: Теперь имеем две системы уравнений, полученные после замены модулей в исходной системе:

1) 5^(x-y) - 10(3y - x) = 5 (3y - x) - 5^(x-y-1) = -3

2) 5^(x-y) - 10(-3y + x) = 5 -(3y - x) - 5^(x-y-1) = -3

Попробуем решить каждую систему по отдельности.

Решение первой системы уравнений:

Для удобства введем новые переменные: a = x - y b = 3y - x

Тогда первая система может быть переписана следующим образом:

1) 5^a - 10b = 5 2) b - 5^(a-1) = -3

Добавим второе уравнение к первому:

(5^a - 10b) + (b - 5^(a-1)) = 5 + (-3)

Упростим:

5^a - 10b + b - 5^(a-1) = 2

5^a - 9b - 5^(a-1) = 2

Теперь заметим, что 5^(a-1) можно записать как 5 * 5^(a-1):

5^a - 9b - 5 * 5^(a-1) = 2

Так как 5^a и 5 * 5^(a-1) имеют одинаковую базу 5, мы можем объединить их:

5^a - 5 * 5^(a-1) - 9b = 2

Теперь упростим левую часть уравнения:

5^a - 5 * 5^(a-1) = 5^a - 5 * 5^a * 5^(-1) = 5^a - 5^a * (1/5) = 5^a - (1/5) * 5^a

Тогда уравнение принимает вид:

(1 - 1/5) * 5^a - 9b = 2

(4/5) * 5^a - 9b = 2

Упростим еще немного:

4 * 5^a / 5 - 9b = 2

4 * 5^a - 45b = 10

Теперь заметим, что 4 * 5^a может быть записано как 5 * 5^a - 5^a:

5 * 5^a - 5^a - 45b = 10

Упростим:

5 * 5^a - 5^a - 45b = 10

4 * 5^a - 45b = 10

Теперь заметим, что мы можем выразить 45b через 4 * 5^a:

45b = 4 * 5^a - 10

Тогда уравнение принимает вид:

4 * 5^a - 4 * 5^a + 10 = 10

10 = 10

Это уравнение истинно для любых значений a и b. Это означает, что первая система имеет бесконечное количество решений.

Решение второй системы уравнений:

Для удобства введем новые переменные: c = x - y d = -3y + x

Тогда вторая система может быть переписана следующим образом:

1) 5^c - 10d = 5 2) -d - 5^(c-1) = -3

Добавим второе уравнение к первому:

(5^c - 10d) + (-d - 5^(c-1)) = 5 + (-3)

Упростим:

5^c - 10d - d - 5^(c-1) = 2

5^c - 11d - 5^(c-1) = 2

Теперь заметим, что 5^(c-1) можно записать как 5 * 5^(c-1):

5^c - 11d - 5 * 5^(c-1) = 2

Так как 5^c и 5 * 5^(c-1) имеют одинаковую базу 5, мы можем объединить их:

5^c - 5 * 5^(c-1) - 11d = 2

Теперь упростим левую часть уравнения:

5^c - 5 * 5^(c-1) = 5^c - 5 * 5^c * 5^(-1) = 5^c - 5^c * (1/5) = 5^c - (1/5) * 5^c

Тогда уравнение принимает вид:

(1 - 1/5) * 5^c - 11d = 2

(4/5) * 5^c - 11d = 2

Упростим еще немного:

4 * 5^c / 5 - 11d = 2

4 * 5^c - 55d = 10

Теперь заметим, что 4 * 5^c может быть записано как 5 * 5^c - 5^c:

5 * 5^c - 5^c - 55d = 10

Упростим:

5 * 5^c - 5^c - 55d = 10

4 * 5^c - 55d = 10

Теперь заметим, что мы можем выразить 55d через 4 * 5^c:

55d = 4 * 5^c - 10

Тогда уравнение принимает вид:

4 * 5^c - 4 * 5^c + 10 = 10

10 = 10

Это уравнение истинно для любых значений c и d. Это означает, что вторая система также имеет бесконечное количество решений.

Вывод:

Исходная система уравнений имеет бесконечное количество решений.