Question

Исследовать функцию и построить график y=x4-4x3+20

Answer 1

Исследование функции y = x^4 - 4x^3 + 20 включает в себя анализ показателей роста и убывания, нахождение экстремумов функции, исследование точек перегиба, а также анализ поведения графика функции в пределах определенных интервалов.

Показатели роста и убывания: Чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, производная функции должна быть положительной или отрицательной соответственно.

y' = 4x^3 - 12x^2 Приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения точек экстремума: 4x^3 - 12x^2 = 0 4x^2(x - 3) = 0 x = 0 или x = 3

Подставим найденные значения вторые производные для определения типа экстремума: y''(0) = 4(3)(0 - 2) = -24 < 0 Таким образом, мы имеем локальный максимум в точке (0, 20).

y''(3) = 4(3)(3 - 2) = 12 > 0 Учитывая, что y''(0) < 0, у нас есть точка перегиба в (3, -1).

Теперь, когда мы определили отметки на графике, мы можем нарисовать график функции y = x^4 - 4x^3 + 20.

Для этого выберем несколько значений для x (например, x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) и вычислим соответствующие значения y. Затем нарисуем точки на координатной плоскости и соединим их линией.

График будет иметь форму параболы, которая открывается вверх и имеет локальный максимум в точке (0, 20).** Учитывая наличие точки перегиба в (3, -1), можно сказать, что график функции будет иметь выпуклую форму в верхней части и вогнутую в области ниже точки перегиба.