Question

Решить:1) cos (6x+1) = -корень из2/22) sinx=2cosx3) ctg (2x- пи/10) = 1/корень из 3

Answer 1

$1)\; cos(6x+1)=-\frac{\sqrt2}{2}\\6x+1=\pm arccos(-\frac{\sqrt2}{2})+2\pi n\\6x+1=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\6x=\pm\frac{\pi}{4}-1+2\pi n\\x=\pm\frac{\pi}{24}-\frac{1}{6}+\frac{\pi n}{6}, \; n\in Z; \\\\2)\; sinx=2cosx|:cosx, \; cosx \neq 0\\tgx=2\\x=arctg2+\pi n, \; n\in Z;\\\\3)\; ctg(2x-\frac{\pi}{10})=\frac{1}{\sqrt3}\\2x-\frac{\pi}{10}=arcctg\frac{\sqrt3}{3}+\pi n\\2x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{10}+\pi n\\x=\frac{1}{2}*(\frac{13\pi}{30}+\pi n)\\x=\frac{13\pi}{60}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in Z.$

Answer 2

Давайте по очереди решим каждое уравнение:

1) \( \cos(6x + 1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Для начала, найдем все углы, на которых косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Обычно мы знаем, что \( \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Таким образом, угол \( \theta = \pi/4 \) удовлетворяет \( \cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ 6x + 1 = \pi/4 + 2\pi n \]

где \( n \) - целое число (потому что мы можем складывать \( 2\pi \) к углу и получать тот же косинус). Теперь решим это уравнение относительно \( x \):

\[ 6x = \pi/4 + 2\pi n - 1 \]

\[ x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3} - \frac{1}{6} \]

2) \( \sin(x) = 2\cos(x) \)

Разделим обе стороны на \(\cos(x)\) (предполагая, что \(\cos(x) \neq 0\)):

\[ \tan(x) = 2 \]

Теперь найдем угол \(x\) такой, что \(\tan(x) = 2\). Обычно мы знаем, что \(\tan(\pi/4) = 1\). Таким образом, мы ищем угол \(x\), который находится во втором квадранте, где тангенс положителен. Таким образом, \(x = \pi/4 + \pi n\), где \(n\) - целое число.

3) \( \cot(2x - \pi/10) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Преобразуем это уравнение, используя свойства котангенса и тангенса:

\[ \tan(2x - \pi/10) = \sqrt{3} \]

Теперь найдем угол \(2x - \pi/10\), на котором тангенс равен \(\sqrt{3}\). Обычно мы знаем, что \(\tan(\pi/3) = \sqrt{3}\). Таким образом, угол \(2x - \pi/10 = \pi/3 + \pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь решим уравнение относительно \(x\):

\[ 2x = \pi/3 + \pi n + \pi/10 \]

\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{20} \]

Итак, у вас есть общие решения для каждого уравнения в зависимости от целочисленного параметра \(n\).