Question

Найдите суму 1/1*5+1/5*9+1/5*13+...+1/73*77

Answer 1

Решается так
1/(1*5)=(1/4)*(1/1-1/5)
1/(5*9)=(1/4)*(1/5-1/9)
1/(9*13)=(1/4)*(1/9-1/13) и т.д.
...
1/(73*77)=(1/4)*(1/73-1/77)
Складывая эти равенства, видим, что все слагаемые кроме первого и последнего сокращаются. Остается
(1/4)*(1/1-1/77)=(1/4)*76/77=19/77.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем заметить определенную закономерность в числителе и знаменателе каждого слагаемого.

Числитель каждого слагаемого формируется как 1/длина шага * (длина шага - 1), где длина шага соответствует разнице между двумя последовательными числами в знаменателе, то есть длина шага = 5 - 1 = 4. Таким образом, числитель первого слагаемого равен 1/4 * 3 = 3/4.

Знаменатель каждого слагаемого формируется путем увеличения предыдущего знаменателя на длину шага, то есть, знаменатель первого слагаемого равен 1 + 4 = 5.

Теперь мы можем записать первое слагаемое в исходной сумме:

1/1 * 5 = 5/1

Аналогичным образом, остальные слагаемые имеют следующий вид:

1/5 * 9 = 9/5

1/9 * 13 = 13/9

...

1/73 * 77 = 77/73

Теперь, чтобы найти сумму этих дробей, мы можем привести все слагаемые к общему знаменателю и сложить числители:

(5/1 + 9/5 + 13/9 + ... + 77/73)

Мы можем сократить знаменатель своего ответа и сделать его наименьшим общим кратным всех знаменателей:

(365/1 + 73/1 + 65/1 + ... + 77/73)

Теперь суммируем числители:

(365 + 73 + 65 + ... + 77)

Мы можем заметить, что каждый следующий числитель на 8 больше предыдущего. Поэтому, чтобы найти общую сумму всех числителей, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии:

Сумма = (количество слагаемых/2) * (первое число + последнее число)

Количество слагаемых = (77 - 5) / 4 + 1 = 19

Первое число = 365

Последнее число = 77

Теперь можем вычислить сумму:

Сумма = (19/2) * (365 + 77)

Сумма = 9.5 * 442

Сумма = 4199

Таким образом, сумма данной последовательности равна 4199.