Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей.

Answer 1

$c$ -  гипотенуза, $a,b$ - катеты треугольника  
$S=\frac{ab}{2}\\ a^2+b^2=64\\ a=\sqrt{64-b^2}\\ b^2 \leq 64\\\\ S=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}\\ S(b)=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}$ рассмотрим функцию , найдем производную 
$S'(b)=\frac{\sqrt{64-b^2}b}{2}'=\\ \frac{\sqrt{64-b^2}}{2}-\frac{b^2}{2\sqrt{64-b^2}}\\ S'(b)=0\\ 64-b^2-b^2=0\\ 64-2b^2=0\\ b^2=32\\ b=4\sqrt{2}\\ a=4\sqrt{2}$ то есть катеты должны быть равны между собой и равны числам $4\sqrt{2}=a=b$

Answer 2

Для нахождения длины каждого катета прямоугольного треугольника, когда гипотенуза равна 8 см и площадь треугольника должна быть наибольшей, можно использовать формулу площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * длина первого катета * длина второго катета.

Чтобы площадь треугольника была наибольшей, необходимо найти максимальное произведение длин двух катетов при заданной гипотенузе.

Для прямоугольных треугольников, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Используя это свойство, можно составить уравнение:

a^2 + b^2 = 8^2

где a и b - длины катетов.

Решая это уравнение, получаем:

a^2 + b^2 = 64

a^2 = 64 - b^2

Также, пользуясь формулой для площади треугольника и зная, что гипотенуза равна 8 см, имеем уравнение:

Площадь треугольника = (1/2) * a * b

(1/2) * a * b = (1/2) * 8 * h, где h - высота треугольника.

h = 8 * a / b

Так как площадь треугольника должна быть наибольшей, то требуется найти максимальное значение произведения a и b, при котором оно удовлетворяет уравнению для гипотенузы.

Следовательно, необходимо найти значение a и b, которые максимизируют произведение:

P = a * b

Для нахождения максимального значения P, возьмем производную произведения P по переменной a и приравняем ее к нулю:

dP/da = b = 0

b = 0 означает, что a = 8, но такой треугольник не прямоугольный.

Следовательно, находим производную произведения P по переменной b и приравниваем ее к нулю:

dP/db = a = 0

a = 0 означает, что b = 8, но такой треугольник не прямоугольный.

Таким образом, максимальное значение произведения a и b достигается, когда a = b.

Подставим это значение в уравнение для гипотенузы:

a^2 + b^2 = 64

a^2 + a^2 = 64

2a^2 = 64

a^2 = 32

a = sqrt(32) ≈ 5.66 см

Таким образом, длина каждого катета прямоугольного треугольника, при которой площадь треугольника будет наибольшей, равна около 5.66 см.