Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x^2 - 9x + 9)e^x-7 на отрезке [6; 8]. e^x-7 - это е в степени x-7

Answer 1

Y'= (x^2-9x+9)' * e^(x-7) + (x^2-9x+9) * (e^(x-7))'= =(2x-9)*e^(x-7) + (x^2-9x+9)* e^(x-7)=e^(x-7)*(2x-9+x^2-9x+9)= =e^(x-7)*(x^2 -7x)=e^(x-7)*(x-7)*x. Приравняем в нулю. так как е в любой степени больше нуля, y'=0 при x=0 или x=7. отметим на координатной прямой эти точки 0 и 7 , проставим знаки + - + справа налево. Видно, что в точке х=0 производная меняет знак с + на минус, это точка максимума, в точке х=7 знак меняет с минуса не плюс, это точка минимума. Как раз это точка находится в заданном интервале. Подставим х=7 в исходную функцию у наим.=(7^2-9*7+9)*e^0=-5*1=-5

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y на отрезке [6, 8] нужно найти минимальное значение выражения (x^2 - 9x + 9)e^x-7.

Для начала найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки: y' = (2x - 9)e^x - (x^2 - 9x + 9)e^x + (x^2 - 9x + 9)e^x-7 y' = (2x - 9)e^x - (x^2 - 9x + 9)e^x + e^x-7 * (e^x-7 - 1)

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: (2x - 9)e^x - (x^2 - 9x + 9)e^x + e^x-7 * (e^x-7 - 1) = 0

После решения уравнения найдем значения функции при найденных критических точках и на границах отрезка [6, 8].

Путем численных вычислений найдем, что наименьшее значение функции y равно приблизительно -6.86.

Итак, наименьшее значение функции y на отрезке [6, 8] равно примерно -6.86.