Question

Решить систему рационального уравнения х в 2 + у в 2 = 41 и у- х = 1

Answer 1

$\left \{ {{ x^{2} +y^{2}=41} \atop {y-x=1}} \right \\ \left \{ {{x^2+y^2=41} \atop {x=-1+y}} \right. \\ (-1+y)^2+y^2=41 \\ y=5 \\ y=-4 \\ x=-1+5 \\ x=-1-4 \\ x=4 \\ x=-5$$( x_{1},y_1)=4,5 \\ (x_2,y_2)=(-5,-4) \\ \left \{ {{4^2+5^2=41} \atop {5-4=1}} \right. \\ \left \{ {{(-5)^2+(-4)^2=41} \atop {-4-(-5)=1}} \right. \\ \left \{ {{41=41} \atop {1=1}} \right. \\ (x_1,y_1)=(4,5) \\ (x_2,y_2)=(-5,-4)$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений.

У нас есть два уравнения:

1. \(x^2 + y^2 = 41\) 2. \(y - x = 1\)

Мы можем воспользоваться вторым уравнением, чтобы выразить одну переменную через другую. В данном случае мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[y = x + 1\]

Теперь мы можем подставить это выражение в первое уравнение:

\[x^2 + (x + 1)^2 = 41\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + x^2 + 2x + 1 = 41\]

Объединим подобные члены:

\[2x^2 + 2x + 1 = 41\]

Теперь выразим уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

\[2x^2 + 2x + 1 - 41 = 0\]

\[2x^2 + 2x - 40 = 0\]

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить:

\[x^2 + x - 20 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы видим, что это уравнение можно разложить на множители:

\[(x - 4)(x + 5) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(x\):

1. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\) 2. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

Теперь, когда у нас есть значения для \(x\), мы можем подставить их обратно в уравнение \(y - x = 1\), чтобы найти соответствующие значения для \(y\):

1. При \(x = 4\): \(y - 4 = 1 \Rightarrow y = 5\) 2. При \(x = -5\): \(y - (-5) = 1 \Rightarrow y = -4\)

Таким образом, у нас есть две пары решений для системы уравнений:

1. \(x = 4\), \(y = 5\) 2. \(x = -5\), \(y = -4\)