Question

Постройте график функции y=(3x^3+x^2+12x+4)/3x+1 и определите, при каких значениях параметра k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Answer 1

Область определения функций $3x+1 \neq 0\\ x=-\frac{1}{3}$, вся область определения кроме $-\frac{1}{3}$. 
 $3x^3+x^2+12x+4=(3x+1)(x^2+4)$
 График это функций будет парабола ,  $y=x^2+4\\ y'=2x$ ,в точке $2x=0\\ x=0$ будет  локальный минимум  функций ,  тогда значение функций в этой точки $f(0)=4$, парабола  направлена вверх на 4 единицы. 
             $x^2-kx+4=0$ 
   необходимое условие для того что бы не было корней ,  $D<0\\ k^2-16<0$ 
 Ответ при $(-4;4)$ 

Answer 2

Для построения графика функции \(y = \frac{3x^3 + x^2 + 12x + 4}{3x + 1}\) и определения значений параметра \(k\), при которых прямая \(y = kx\) не имеет общих точек с графиком функции, давайте выполним следующие шаги.

1. Найдем область определения функции: Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента. В данном случае, знаменатель функции не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Таким образом, у нас есть ограничение \(3x + 1 \neq 0\). Решим это уравнение:

\[3x + 1 \neq 0\]

\[3x \neq -1\]

\[x \neq -\frac{1}{3}\]

Следовательно, область определения функции - все вещественные числа, кроме \(-\frac{1}{3}\).

2. Построим график функции: Для построения графика можно воспользоваться графическими инструментами, такими как графические редакторы, онлайн-калькуляторы графиков или программы для математического моделирования.

3. Определим значения параметра \(k\): Прямая \(y = kx\) будет иметь общие точки с графиком функции, если существуют значения \(x\) и \(y\) такие, что уравнение прямой равно уравнению функции. То есть, если найдутся такие \(x\) и \(y\), что:

\[\frac{3x^3 + x^2 + 12x + 4}{3x + 1} = kx\]

Решим это уравнение относительно \(k\).

\[3x^3 + x^2 + 12x + 4 = kx(3x + 1)\]

Разложим многочлен:

\[3x^3 + x^2 + 12x + 4 = 3kx^2 + kx + kx + 4k\]

Сгруппируем слагаемые:

\[3x^3 + x^2 + 12x + 4 = 3kx^2 + (2k + 12)x + 4k\]

Сравним коэффициенты при соответствующих степенях \(x\):

\[3 = 3k\]

\[1 = 2k + 12\]

\[12 = 4k\]

Решим систему уравнений:

\[k = 1\]

\[2k + 12 = 1\]

\[4k = 12\]

Следовательно, для \(k = 1\) прямая \(y = kx\) не имеет общих точек с графиком функции.

Построим график функции и прямой для наглядности.