Question

При каком значении параметра a функция y(x) = sinx + a(x + 2) + 6 будет нечётной? Если их несколько, в ответе укажите сумму всех найденных значений параметра a.

Answer 1

Нечетная функция удовлетворяет условию:
y(-x) = -y(x)
sin(-x) + a(-x + 2) + 6 = -(sin x + a(x + 2) + 6)
-sin x - ax + 2a + 6 = -sin x - ax - 2a - 6
2a + 6 = -2a - 6
4a + 12 = 0
a = -3

Answer 2

Функция \(y(x) = \sin(x) + a(x + 2) + 6\) будет нечётной, если выполняется следующее условие для любого \(x\):

\[y(-x) = -y(x)\]

Давайте подставим выражение для функции и проверим, при каких значениях параметра \(a\) это условие выполняется:

\[\sin(-x) + a(-x + 2) + 6 = -(\sin(x) + a(x + 2) + 6)\]

Раскроем синус от отрицательного угла:

\[-\sin(x) + a(-x + 2) + 6 = -\sin(x) - a(x + 2) - 6\]

Теперь сгруппируем слагаемые и упростим выражение:

\[-\sin(x) - \sin(x) + a(-x + 2 - x - 2) = -2\sin(x) - 2ax + 4a - 6\]

Теперь приравняем это к \(-y(x)\):

\[-2\sin(x) - 2ax + 4a - 6 = -(\sin(x) + a(x + 2) + 6)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[-2\sin(x) - 2ax + 4a - 6 = -\sin(x) - a(x + 2) - 6\]

Теперь сгруппируем слагаемые и получим уравнение:

\[-\sin(x) - 2\sin(x) + a(-x + 2 - x - 2) + 4a - 6 = 0\]

\[-3\sin(x) - 2ax + 4a - 6 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно параметра \(a\). Найдём все значения \(a\), при которых это уравнение выполняется.

\[a(-2x + 4) = 3\sin(x) + 6 - 4a\]

\[a = \frac{3\sin(x) + 6 - 4a}{-2x + 4}\]

Умножим обе стороны на \(-2x + 4\):

\[a(-2x + 4) = 3\sin(x) + 6 - 4a\]

\[a(-2x + 4) + 4a = 3\sin(x) + 6\]

\[a(-2x + 4 + 4) = 3\sin(x) + 6\]

\[a(-2x + 8) = 3\sin(x) + 6\]

\[a = \frac{3\sin(x) + 6}{-2x + 8}\]

Таким образом, функция будет нечётной при значениях параметра \(a\), равных \(\frac{3\sin(x) + 6}{-2x + 8}\). В ответе укажите сумму всех найденных значений параметра \(a\).