Question

Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии

Answer 1

Пусть четвертый член (в4) равен х. тогда второй (в2) равен х-24. Получается, что сумма в2 и в3 равна х-24 + в3=6, в3=30-х. Находим среднее геометрическое. (30-х)в квадрате=х(х-24)
раскрываем и получаем, что х = 25. то есть четвертый член равен 25. второй равен 25-24=1, в3=30-52=5. знаменатель равен 52/5=5. первый член равен 1/5

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен b.

Тогда второй член будет равен ab, третий член будет равен ab^2, а четвертый член будет равен ab^3.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

ab^3 = ab + 24 (1) ab + ab^2 = 6 (2)

Рассмотрим второе уравнение:

ab + ab^2 = 6 ab(b + 1) = 6 ab = 6 / (b + 1) (3)

Подставим это значение в первое уравнение:

(ab^3) = (ab) + 24 (ab^2) = 1 + 24/b (6/(b + 1)) * b^2 = 1 + 24/b 6b^2 / (b + 1) = (b + 24) / b 6b^3 = (b + 1)(b + 24)

Раскроем скобки:

6b^3 = b^2 + 25b + 24

Приведем все к одному слагаемому:

6b^3 - b^2 - 25b - 24 = 0

Решим это уравнение:

Можно заметить, что b = 1 является корнем этого уравнения.

Тогда подставим b = 1 в уравнение (3):

a * 1 = 6 / (1 + 1) a = 3

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3, а знаменатель равен 1.