Question

Найдите частное q(x) и остаток r(x) от деления многочлена P(x)=x^3-5x^2-3x+7 на двучлен Q(x)=x-4. Выделите у рациональной дроби P(x)/Q(x) целую и дробные части: P(x)/Q(x) = q(x) + r(x)/Q(x)

Answer 1

x = 4 - корень многочлена P(x). Подставив корень в многочлен P(x), мы получим

$P(2)=4^3-5\cdot 4^2-3\cdot 4+7=-21=r(x)$ - остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x), следовательно

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x^3-5x^2-3x+7+21-21}{x-4}=\dfrac{x^3-5x^2-3x+28}{x-4}-\dfrac{21}{x-4}=\\ \\ \\ =\dfrac{(x-4)(x^2-x-7)}{x-4}-\dfrac{21}{x-4}=x^2-x-7-\dfrac{21}{x-4}$

где $q(x)=x^2-x-7$ и $r(x)=-21$

Answer 2

Для нахождения частного и остатка от деления многочлена p(x) на двучлен q(x), мы будем использовать алгоритм деления многочленов синтетическим методом.

Первым шагом является деление многочленов: ``` x^2 - x + 4 ______________________________ x - 4 | x^3 - 5x^2 - 3x + 7 - x^3 + 4x^2 ___________ -9x^2 - 3x + 9x^2 - 36x ___________ 33x + 7 ```

Таким образом, частное от деления многочлена p(x) на двучлен q(x) равно x^2 - x + 4, а остаток от деления равен 33x + 7.

Теперь давайте разложим рациональную дробь p(x)/q(x) на целую и дробные части:

p(x)/q(x) = (x^2 - x + 4) + (33x + 7)/(x - 4)

Целая часть равна (x^2 - x + 4), а дробная часть равна (33x + 7)/(x - 4).