Question

Для функции y=f(x) найдите первообразную график которой проходит через начало координат 1) f(x)=x2\3+sin(x+пи деленая на три ) подробное решение

Answer 1

$f(x)= \frac{x^{2}}{3}+sin(x+ \frac{ \pi }{3})$
$F(x)= \int\limits {(\frac{x^{2}}{3}+sin(x+ \frac{ \pi }{3}))} \, dx =\frac{x^{3}}{9}-cos(x+ \frac{ \pi }{3})+C$

График проходит через начало координат, значит проходит через точку (0; 0):
$-cos(\frac{ \pi }{3})+C=0$
$-\frac{1}{2}+C=0$
$C=\frac{1}{2}$

Искомая первообразная: $F(x)=\frac{x^{3}}{9}-cos(x+ \frac{ \pi }{3})+\frac{1}{2}$

Answer 2

Конечно, давайте найдем первообразную для функции \(y = f(x) = x^{2/3} + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\).

Для нахождения первообразной, мы будем интегрировать каждый член функции по отдельности.

1. Интегрируем \(x^{2/3}\): \[ \int x^{2/3} \,dx = \frac{3}{5}x^{5/3} + C_1, \] где \(C_1\) - произвольная константа.

2. Интегрируем \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\): \[ \int \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \,dx = -\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C_2, \] где \(C_2\) - также произвольная константа.

Теперь найдем первообразную для всей функции \(y = f(x)\): \[ \int f(x) \,dx = \frac{3}{5}x^{5/3} - \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C, \] где \(C\) - константа интегрирования, объединяющая константы \(C_1\) и \(C_2\).

Чтобы найти константу \(C\) и удовлетворить условию, что график проходит через начало координат, подставим \(x = 0\) и \(y = 0\): \[ 0 = \frac{3}{5}(0)^{5/3} - \cos\left(0 + \frac{\pi}{3}\right) + C. \] Отсюда получаем: \[ C = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, окончательная первообразная, проходящая через начало координат, будет: \[ F(x) = \frac{3}{5}x^{5/3} - \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}. \]

Итак, это и есть искомая функция, первообразная для \(y = f(x)\), которая проходит через начало координат.