Question

Решите уравнение, х²+1/х+х/х²+1=-5/2, используя введение новой переменной

Answer 1

$\frac{ x^{2} +1}{x}+ \frac{x}{ x^{2} +1}=- \frac{5}{2}$
Замена переменной
$\frac{ x^{2} +1}{x}=t,$
тогда
$\frac{x}{ x^{2} +1}= \frac{1}{t}$
Уравнение принимает вид:
$t+ \frac{1}{t}=- \frac{5}{2}$
или
$\frac{2t ^{2}+5t+2 }{2t}=0$
t≠0
2t²+5t+2=0
D=25-16=9
t=(-5-3)/4=-2  или  t=(-5+3)/4=-1/2
Возвращаемся к переменной х:
$\frac{ x^{2} +1}{x}=-2,$
x≠0
x²+2x+1=0    ⇒(x+1)²=0    ⇒ x=-1
или
$\frac{ x^{2} +1}{x}=- \frac{1}{2}$
x≠0
2x²+2=-x
2x²+x+2=0
D=1-4·2·2<0
нет корней
Ответ. х=-1

Answer 2

Для решения данного уравнения введем новую переменную, например, пусть t = x + 1/x. Тогда уравнение примет вид:

t^2 - 2 = -5/2.

Перенесем все члены уравнения влево:

t^2 - 2 + 5/2 = 0.

Приведем дробь к общему знаменателю:

2t^2 - 4 + 5/2 = 0.

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

4t^2 - 8 + 5 = 0.

4t^2 - 3 = 0.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение:

4t^2 = 3.

t^2 = 3/4.

t = ±√(3/4).

Так как t = x + 1/x, то получаем два уравнения:

1) x + 1/x = √(3/4).

Умножим оба члена уравнения на x:

x^2 + 1 = x√(3/4).

Перенесем все члены уравнения влево:

x^2 - x√(3/4) + 1 = 0.

2) x + 1/x = -√(3/4).

Умножим оба члена уравнения на x:

x^2 + 1 = -x√(3/4).

Перенесем все члены уравнения влево:

x^2 + x√(3/4) + 1 = 0.

Таким образом, мы получили два квадратных уравнения, которые можно решить с помощью дискриминанта или других методов решения квадратных уравнений. Решения данных уравнений будут значениями переменной x, удовлетворяющими исходному уравнению.