Question

Решите неравенство: x^2+(1-корень 10)x-корень 10<=0

Answer 1

x^²+(1-√10)x-√10≤0
Разложим левую часть неравенства на множители:
х²+х-√10х-√10≤0
(х²-√10х)+(х-√10)≤0
х(х-√10)+(х-√10)≤0
(х-√10)(х+1)≤0
Решаем методом интервалов
         +        _                        +
----------[-1]------------[√10]-------------

Ответ. [-1;√10]

Answer 2

Для решения неравенства \(x^2 + (1 - \sqrt{10})x - \sqrt{10} \leq 0\), мы можем воспользоваться методом интервалов или графическим методом. Давайте воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения \(x^2 + (1 - \sqrt{10})x - \sqrt{10} = 0\). 2. Разбиваем вещественную прямую на интервалы с использованием найденных корней. 3. Выбираем по одной точке из каждого интервала и проверяем знак выражения \(x^2 + (1 - \sqrt{10})x - \sqrt{10}\) в этих точках.

Давайте решим уравнение:

\[x^2 + (1 - \sqrt{10})x - \sqrt{10} = 0\]

Используем квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 1 - \sqrt{10}\), \(c = -\sqrt{10}\).

\[D = (1 - \sqrt{10})^2 - 4(1)(-\sqrt{10})\]

\[D = 1 - 2\sqrt{10} + 10 + 40\]

\[D = 51 - 2\sqrt{10}\]

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два вещественных корня.

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-(1 - \sqrt{10}) \pm \sqrt{51 - 2\sqrt{10}}}{2}\]

Теперь рассмотрим интервалы на вещественной прямой:

1. Рассмотрим интервал \((-\infty, x_1)\). Выберем точку \(x = 0\):

\[0^2 + (1 - \sqrt{10}) \cdot 0 - \sqrt{10} = -\sqrt{10} < 0\]

Таким образом, на этом интервале неравенство выполняется.

2. Рассмотрим интервал \((x_1, x_2)\). Выберем точку \(x = x_1 + \varepsilon\), где \(\varepsilon\) - небольшое положительное число:

\[(x_1 + \varepsilon)^2 + (1 - \sqrt{10})(x_1 + \varepsilon) - \sqrt{10} > 0\]

Это неравенство можно проверить численно, и оно будет выполняться.

3. Рассмотрим интервал \((x_2, +\infty)\). Выберем точку \(x = x_2 + \varepsilon\):

\[(x_2 + \varepsilon)^2 + (1 - \sqrt{10})(x_2 + \varepsilon) - \sqrt{10} < 0\]

Таким образом, на этом интервале неравенство снова выполняется.

Таким образом, решение неравенства \(x^2 + (1 - \sqrt{10})x - \sqrt{10} \leq 0\) - это интервалы \((-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).