Question

Решите неравенство, с объяснение , пожалуйста: а) х ^2 - 2x - 3 > 0 б) x ^2 + 4x + 5 < 0 в) x ^2 - 6x + 9 > 0

Answer 1

$x ^2 - 2x - 3 > 0 \\\ D_1=1+3=4 \\\ x_1=3 \\\ x_2=1 \\\ x\in(-\infty; 1)\cup(3; +\infty)$
Ответ: x<1 и x>3

$x ^2 + 4x + 5 < 0 \\\ D_1=4-5<0$
Ответ: нет решений, так как вся парабола расположена над осью х

$x ^2 - 6x + 9 > 0 \\\ (x-3)^2>0 \\\ x-3 \neq 0 \\\ x \neq 3$
Ответ: все числа, кроме  числа 3

Answer 2

Решение смотри в приложении

Answer 3

Конечно, рассмотрим каждое неравенство по очереди.

а) \(x^2 - 2x - 3 > 0\)

Это квадратное уравнение. Давайте найдём его корни, используя метод дискриминанта или метод завершения квадрата.

Дискриминант \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -3\):

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

Поскольку дискриминант \(D > 0\), у нас есть два действительных корня.

Найдём корни уравнения \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой для квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}\] \[x = \frac{2 \pm 4}{2}\]

Это дает нам два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -1\).

Теперь, чтобы понять знак выражения \(x^2 - 2x - 3\) на каждом из интервалов, которые определяют корни, можно использовать тестирование значений внутри каждого интервала.

Выберем точки в интервалах: \((- \infty, -1)\), \((-1, 3)\), и \((3, +\infty)\).

1. При \(x = -2\): \( (-2)^2 - 2*(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0\) (в интервале \((- \infty, -1)\)).

2. При \(x = 0\): \(0^2 - 2*0 - 3 = -3 < 0\) (в интервале \((-1, 3)\)).

3. При \(x = 4\): \(4^2 - 2*4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0\) (в интервале \((3, +\infty)\)).

Таким образом, неравенство \(x^2 - 2x - 3 > 0\) выполняется для \(x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)\).

б) \(x^2 + 4x + 5 < 0\)

Это квадратное уравнение. Давайте опять найдем его корни.

Дискриминант \(D\) для уравнения \(x^2 + 4x + 5 = 0\) равен:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\]

Поскольку дискриминант \(D < 0\), у уравнения нет действительных корней. Таким образом, это означает, что уравнение \(x^2 + 4x + 5 = 0\) не имеет корней на вещественной числовой оси.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что график квадратного уравнения \(x^2 + 4x + 5\) всегда положителен (все значения больше 0). Следовательно, неравенство \(x^2 + 4x + 5 < 0\) не имеет решений на вещественной числовой оси.

в) \(x^2 - 6x + 9 > 0\)

Это квадратное уравнение. Давайте найдём его корни.

Дискриминант \(D\) для уравнения \(x^2 - 6x + 9 = 0\) равен:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\]

Поскольку дискриминант \(D = 0\), у уравнения есть один корень.

Найдём корень уравнения \(x^2 - 6x + 9 = 0\):

\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3\]

Так как у нас есть один корень \(x = 3\), это означает, что график квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 9\) касается оси \(x\) в точке \(x = 3\).

Теперь, чтобы понять знак выражения \(x^2 - 6x + 9\) на каждом из интервалов, можно использовать тестирование значений внутри каждого интервала.

Выберем точки в интервалах: \((- \infty, 3)\) и \((3, +\infty)\).

1. При \(x = 2\): \(2^2 - 6*2 + 9 = 4 - 12 + 9 = 1 > 0\) (в интервале \((- \infty, 3)\)).

2. При \(x = 4\): \(4^2 - 6*4 + 9 = 16 - 24 + 9 = 1 > 0\) (в интервале \((3, +\infty)\)).

Таким образом, неравенство \(x^2 - 6x + 9 > 0\) выполняется для всех \(x \in (-\infty, +\infty)\).