Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции : f(x)=2x^3-9x^2-24

Answer 1

$f(x)=2x^3-9x^2-24, \\ f'(x)=6x^2-18x, \\ f'(x)=0, \ 6x^2-18x=0, \\ 6x(x-3)=0, \\ x_1=0, x_2=3; \\ x\ \textless \ 0, \ f'(x)\ \textgreater \ 0, \ f(x)\nearrow, \\ 0\ \textless \ x\ \textless \ 3, \ f'(x)\ \textless \ 0, \ f(x)\searrow, \\ x\ \textgreater \ 3, \ f'(x)\ \textgreater \ 0, \ f(x)\nearrow.$

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24 необходимо проанализировать производную функции и определить ее знаки.

Нахождение производной:

Для нахождения производной функции f(x), возьмем производные каждого слагаемого по отдельности и сложим их. Производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = (6x^2 - 18x)

Определение знаков производной:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо проанализировать знаки производной. Для этого рассмотрим уравнение f'(x) = 0 и найдем его корни:

6x^2 - 18x = 0

Вынесем общий множитель:

6x(x - 3) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = 0 и x = 3.

Создание таблицы знаков:

Теперь создадим таблицу знаков, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции:

x    |    -∞    |    0    |    3    |    +∞
-------------------------------------------
f'(x) |    +    |    0    |    +    |    +

Знак "+" означает положительное значение производной, а знак "0" означает, что производная равна нулю.

Анализ промежутков:

Исходя из таблицы знаков, мы можем сделать следующие выводы:

1. Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 0), так как производная положительна в этом промежутке. 2. Функция f(x) достигает локального минимума в точке x = 0, так как производная равна нулю в этой точке. 3. Функция f(x) убывает на интервале (0, 3), так как производная отрицательна в этом промежутке. 4. Функция f(x) достигает локального максимума в точке x = 3, так как производная равна нулю в этой точке. 5. Функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞), так как производная положительна в этом промежутке.

Визуализация графика функции:

Для наглядности можно построить график функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24, чтобы визуально увидеть промежутки возрастания и убывания:


На графике видно, что функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (3, +∞), и убывает на интервале (0, 3). Также видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = 3.

Надеюсь, что эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.