Question

(2+√3)^x+(2-√3)^x=4 помогите решить

Answer 1

$(2+\sqrt3)^{x}+(2-\sqrt3)^{x}=4\\\\(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=2^2-(\sqrt3)^2=4-3=1\; \; \Rightarrow \; \; (2-\sqrt3)=\frac{1}{2+\sqrt3}\\ \\t=(2+\sqrt3)^{x}>0\; \; \Rightarrow \; \; (2-\sqrt3)^{x}=\frac{1}{t}>0\\\\t+\frac{1}{t}=4\; ,\; \; \frac{t^2-4t+1}{t}=0\; \; \to \; \; t^2-4t+1=0\; ,\; t\ne 0\\\\(t-2)^2-4+1=0\; \to \; \; (t-2)^2-3=0\; \to \\\\(t-2-\sqrt3)(t-2+\sqrt3)=0\; \; \Rightarrow \; \; t_1=2+\sqrt3\; ,\; \; t_2=2-\sqrt3\\\\a)\; (2+\sqrt3)^{x}=2+\sqrt3\; \; \to \; \; x=1$

$b)\; \; (2+\sqrt3)^{x}=2-\sqrt3\; \; \to \; \; (2+\sqrt3)^{x}=(2+\sqrt3)^{-1}\; ,\; \; x=-1\\\\Otvet:\; \; x=1\; ,\; x=-1\; .$

Answer 2

Давайте решим уравнение \((2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 4\). Для этого воспользуемся свойствами корней и попробуем представить выражение в более удобной форме.

Обозначим \(a = 2 + \sqrt{3}\) и \(b = 2 - \sqrt{3}\). Тогда у нас есть следующие равенства:

\[a^x + b^x = 4.\]

Теперь рассмотрим уравнение \(ab = 1\). Умножим обе части на \(b\):

\[ab^2 = b.\]

Так как \(ab = 1\), мы можем заменить \(ab\) на 1:

\[b^2 = b.\]

Теперь мы видим, что \(b\) удовлетворяет квадратному уравнению:

\[b^2 - b = 0.\]

Факторизуем его:

\[b(b - 1) = 0.\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(b\): \(b = 0\) или \(b = 1\).

Если \(b = 0\), то \(a = 1\) (по уравнению \(ab = 1\)). Тогда исходное уравнение принимает вид:

\[1^x + 0^x = 4.\]

Это уравнение не имеет решений, так как слева всегда будет 1, независимо от значения \(x\).

Если \(b = 1\), то \(a = 1\) (по уравнению \(ab = 1\)). Тогда исходное уравнение принимает вид:

\[1^x + 1^x = 4.\]

Это уравнение имеет решение при \(x = 1\), так как \(1 + 1 = 4\).

Итак, уравнение \((2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 4\) имеет единственное решение: \(x = 1\).