Question

Розв*язати рівняння 2cos²2x - cos2x - 1 = 0

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим данное уравнение:

2cos²2x - cos2x - 1 = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими тождествами и заменами. Давайте разберемся шаг за шагом.

Замена тригонометрической функции

Для упрощения уравнения, мы можем ввести новую переменную, например, z = cos2x. Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

2cos²2x - cos2x - 1 = 0 2z² - z - 1 = 0

Решение уравнения

Теперь, когда у нас есть новое уравнение, мы можем его решить. Для этого мы можем воспользоваться стандартными методами решения квадратных уравнений.

Сначала, давайте проверим, есть ли у данного уравнения действительные корни. Для этого мы можем вычислить дискриминант по формуле D = b² - 4ac, где a = 2, b = -1 и c = -1:

D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня.

Используя квадратное уравнение, мы можем найти значения z:

z₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(-1) + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 z₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(-1) - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Нахождение значений x

Теперь, когда у нас есть значения z, мы можем найти значения x, восстановив замену, которую мы сделали ранее:

z = cos2x

Для нахождения x, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус), обозначенную как acos. Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:

cos2x = 1 cos2x = -1/2

Давайте рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Уравнение 1: cos2x = 1

Когда cos2x = 1, мы знаем, что угол 2x равен 0 градусов (или любое другое значение, кратное 360 градусов). Таким образом, мы можем записать:

2x = 0 + k * 360, где k - целое число.

x = (0 + k * 360) / 2

Уравнение 2: cos2x = -1/2

Когда cos2x = -1/2, мы должны найти угол, чей косинус равен -1/2. Это угол 2x, который равен 120 градусам (или любому другому значению, отличному от 0 и кратному 360 градусам). Таким образом, мы можем записать:

2x = 120 + k * 360, где k - целое число.

x = (120 + k * 360) / 2

Резюме

Таким образом, решение данного уравнения 2cos²2x - cos2x - 1 = 0 состоит из двух наборов значений x:

1. x = (0 + k * 360) / 2 для любого целого числа k. 2. x = (120 + k * 360) / 2 для любого целого числа k, кроме 0.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.