Question

Решите: sin(2arctg2)=?

Answer 1

Обозначим
arctg2=α  ⇒   tg α=2   и
   0<α<(π/2),
так как arctg определен на (-π/2;π/2) и по условию тангенс положителен.

По формуле
1+tg²α=1/(cos²α)
находим
cos²α=1/(1+tg²α)=1/(1+2²)=1/5
cosα=1/√5, так как   0<α<(π/2)
sinα=√(1-cos²α)=√(1-(1/5))=2/√5
sin2α=2sinα·cosα=2·(2/√5)·(1/√5)=4/5
О т в е т. sin(2arctg2)=sin2α=4/5.

Answer 2

Sin(2arctgx)=2x/(1+x^2)
sin(2arctg2)=4/5

Answer 3

Для решения данного выражения, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и формулы. Давайте посмотрим, как мы можем решить это.

Начнем с замены арктангенса на уг

Answer 4

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Пусть \( \theta = \arctan(2) \). Тогда \( \tan(\theta) = 2 \).

Из определения тангенса мы можем записать \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \).

Теперь рассмотрим уравнение \( \sin(2\theta) \).

Мы знаем, что \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \).

Теперь используем выражение для тангенса:

\[ \begin{align*} \tan(\theta) &= \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \\ \sin(\theta) &= \tan(\theta) \cos(\theta) \end{align*} \]

Теперь подставим это выражение для \( \sin(\theta) \) в формулу для \( \sin(2\theta) \):

\[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2(\tan(\theta)\cos(\theta))\cos(\theta) \]

Теперь мы можем подставить \( \theta = \arctan(2) \):

\[ \sin(2\arctan(2)) = 2(\tan(\arctan(2))\cos(\arctan(2)))\cos(\arctan(2)) \]

Так как \( \tan(\arctan(x)) = x \), мы можем упростить выражение:

\[ \sin(2\arctan(2)) = 2(2\cos(\arctan(2)))\cos(\arctan(2)) \]

Теперь давайте определим значения \( \cos(\arctan(2)) \). Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом \( \arctan(2) \). Пусть противолежащий катет равен 2, а прилежащий катет равен 1. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна \( \sqrt{5} \). Таким образом, \( \cos(\arctan(2)) = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение:

\[ \sin(2\arctan(2)) = 2(2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})\frac{1}{\sqrt{5}} \]

Упростим:

\[ \sin(2\arctan(2)) = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} \]

Таким образом, \( \sin(2\arctan(2)) = \frac{4}{5} \).