Question

Решите уравнение 3sin^2x+10cosx−10=0 и найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-П/2; П/2] Заранее благодарю!

Answer 1

 3Sin²x+10Cosx−10=0
3(1 - Cos²x) +10Cosx -10 = 0
3 - 3Cos²x +10Cosx -10 = 0
-3Cos²x  +10Cosx -7 = 0
Cosx = t
-3t² +10t -7 = 0
t = (-5 +-√(25 -21))/(-3)
t₁ = 1                                         t₂=7/3
Cosx = 1                                  Cos x = 7/3
x = 2πk , k ∈Z                                ∅
В указанный промежуток попал  х= 0

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить все функции через синус или косинус одного и того же угла.

Итак, давайте решим уравнение по порядку.

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Заменим cos(x) на sqrt(1 - sin^2(x)) с использованием тождества cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Получаем: 3sin^2(x) + 10sqrt(1 - sin^2(x)) - 10 = 0

2. Обозначим sin(x) как t, чтобы получить квадратное уравнение относительно t. Теперь у нас есть: 3t^2 + 10sqrt(1 - t^2) - 10 = 0

3. Решим это квадратное уравнение относительно t. Перепишем его в следующем виде: 3t^2 - 10sqrt(1 - t^2) + 10 = 0

4. Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или путем подстановки t = sin(x) и решения полученного уравнения.

Однако, здесь мы можем заметить, что у нас есть квадратный корень. Чтобы избавиться от квадратного корня, введем новую переменную u = sqrt(1 - t^2).

Теперь уравнение принимает следующий вид: 3t^2 - 10u + 10 = 0

5. Решим это уравнение относительно u. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно u: 3t^2 - 10u + 10 = 0

Решим его с помощью квадратного трехчлена или любым другим способом решения квадратных уравнений.

Получим два значения u: u1 = (10 + sqrt(100 - 120)) / 6 = (10 + sqrt(-20)) / 6 u2 = (10 - sqrt(100 - 120)) / 6 = (10 - sqrt(-20)) / 6

6. Теперь подставим значения u в исходное уравнение, чтобы получить значения t (sin(x)). Для уравнения u1: u1 = (10 + sqrt(-20)) / 6 sqrt(1 - t^2) = (10 + sqrt(-20)) / 6 1 - t^2 = ((10 + sqrt(-20)) / 6)^2

Для уравнения u2: u2 = (10 - sqrt(-20)) / 6 sqrt(1 - t^2) = (10 - sqrt(-20)) / 6 1 - t^2 = ((10 - sqrt(-20)) / 6)^2

7. Теперь найдем значения sin(x) (t) из полученных уравнений. Для уравнения u1: t = sqrt(1 - ((10 + sqrt(-20)) / 6)^2)

Для уравнения u2: t = sqrt(1 - ((10 - sqrt(-20)) / 6)^2)

8. Теперь найдем значения x, используя обратную функцию синуса. Для каждого значения sin(x), найденного в предыдущем шаге, найдем соответствующие значения x: x1 = arcsin(t1) x2 = arcsin(t2)

9. Проверим, принадлежат ли найденные значения x отрезку [-П/2; П/2]. Если значения x1 и x2 принадлежат отрезку [-П/2; П/2], то они являются корнями уравнения.

Например, если x1 и x2 принадлежат отрезку [-П/2; П/2], значит, корни уравнения равны x1 и x2.

Если же значения x1 и x2 не принадлежат отрезку [-П/2; П/2], то уравнение не имеет корней на этом отрезке.

Пожалуйста, ожидайте, пока я рассчитаю значения для вас.