Question

Ребята, очень вас прошу, помогите решить задания. 1) Начиная с какого номера все члены последовательности xn=3n-2 больше числа А=12 ? 2) Между числами 1 и 8 вставьте два числа так,чтобы они вместе с данными составляли геометрическую прогрессию. В ответе запишите 4 первых члена этой прогрессии 3) bn-геометрическая пргрессия. Известно, что b2+b5=9; b3+b4=6. Найдите b7 4) Дана геометрическая прогрессия bn=3^n-1. Найдите сумму первых 4-х членов этой прогрессии

Answer 1

1) xn=3n-2
3n-2>12
3n>14
n>14/3
n=5

2) b1=1; b4=b1*q^3=8
b1q^3/b1=8/1
q^3=8
q=2
b2=b1q=2
b3=b2q=4

1;2;4;8

3) b2+b5=9
b3+b4=6

b1q+b1q^4=9
b1q^2+b1q^3=6

b1q(1+q^3)=9
b1q^2(1+q)=6

b1q(1+q^3)/b1q^2(1+q)=9/6
(1+q)(q^2-q+1)/q(1+q)=3/2
(q^2-q+1)/q=1.5
q^2-q+1=1.5q
q^2-2.5q+1=0
D=6.25-4=2.25

q=(2.5+1.5)/2=4/2=2
q=(2.5-1.5)/2=1/2=0.5

1) q=2:

b1=6/q^2(1+q) = 6/(4*3)=6/12=0.5
b7=b1q^6=0.5*64=32

2) q=0.5:

b1=6/q^2(1+q)=6/(0.25*1.5)=24/1.5=48/3=16
b7=b1q^6=16*2^(-6)=2^4*2^(-6)=2^-2=0.25

Ответ: 32; 0.25 

4) bn=3^(n-1)
b1=3^0=1
b2=3^1=3
q=b2/b1=3/1=3

S4=b1*(q^4-1)/(q-1)=1*(81-1)/(3-1)=80/2=40 

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое из заданий.

Задание 1:

У нас есть последовательность \(x_n = 3n - 2\), и нам нужно найти номер первого члена, который больше числа \(A = 12\).

\[ x_n > A \]

Подставим \(x_n = 3n - 2\) и \(A = 12\):

\[ 3n - 2 > 12 \]

Решаем неравенство:

\[ 3n > 14 \]

\[ n > \frac{14}{3} \]

Поскольку \(n\) - целое число, то ближайшее целое число больше \(\frac{14}{3}\) - это 5.

Ответ: Начиная с номера 6 все члены последовательности \(x_n\) больше 12.

Задание 2:

Нам нужно вставить два числа между 1 и 8 так, чтобы они вместе с данными составляли геометрическую прогрессию.

Давайте возьмем геометрическую прогрессию с множителем \(q\):

\[ 1, x, y, 8 \]

У нас есть две неизвестные \(x\) и \(y\), и мы хотим, чтобы эти четыре числа образовывали геометрическую прогрессию. Значит, отношение любых двух последовательных членов должно быть постоянным:

\[ \frac{x}{1} = \frac{y}{x} = \frac{8}{y} \]

Мы можем решить эту систему уравнений. Например, из первого равенства мы получим, что \(x^2 = 1\), а из второго, что \(xy = 8\). Таким образом, \(x = 1\) и \(y = 8\).

Таким образом, два числа, которые нужно вставить, чтобы получить геометрическую прогрессию, это 1 и 8.

Ответ: 1, 1, 8, 8

Задание 3:

Пусть \(b\) - первый член геометрической прогрессии, а \(q\) - ее множитель.

Тогда:

\[ \begin{align*} b_2 + b_5 &= b \cdot q + b \cdot q^4 = 9 \\ b_3 + b_4 &= b \cdot q^2 + b \cdot q^3 = 6 \end{align*} \]

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (\(b\) и \(q\)). Решим ее.

Первое уравнение: \(b \cdot q + b \cdot q^4 = 9\)

Второе уравнение: \(b \cdot q^2 + b \cdot q^3 = 6\)

Если мы поделим первое уравнение на второе, то получим:

\[ \frac{b \cdot q + b \cdot q^4}{b \cdot q^2 + b \cdot q^3} = \frac{9}{6} \]

\[ \frac{q + q^4}{q^2 + q^3} = \frac{3}{2} \]

Упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{q(1 + q^3)}{q^2(1 + q)} = \frac{3}{2} \]

Сократим на \(q\):

\[ \frac{1 + q^3}{q(1 + q)} = \frac{3}{2} \]

Умножим обе стороны на \(2q(1 + q)\):

\[ 2(1 + q^3) = 3q(1 + q) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 + 2q^3 = 3q + 3q^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 2q^3 - 3q^2 - 3q + 2 = 0 \]

Это уравнение третьей степени, и его решение не всегда просто. В данном случае, можно попытаться подобрать целочисленные корни. Один из корней этого уравнения - \(q = 1\).

Теперь, если \(q = 1\), мы можем подставить это значение в любое из начальных уравнений. Давайте возьмем первое:

\[ b \cdot q + b \cdot q^4 = 9 \]

Подставим \(q = 1\):

\[ b + b = 9 \]

Отсюда \(b = \frac{9}{2}\).

Таким образом, решение задачи: \(b = \frac{9}{2}\) и \(q = 1\).

Теперь, чтобы найти \(b_7\), мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b \cdot q^{(n-1)} \]

Так что:

\[ b_7 = \frac{9}{2} \cdot 1^6 = \frac{9}{2} \]

Ответ: \(b_7 = \frac{9}{2}\).

Задание 4:

Дана геометрическая прогрессия \(b_n = 3^{n-1}\). Нам нужно найти сумму первых 4 членов этой прогрессии.

Общий член геометрической прогрессии:

\[ b_n = 3^{n-1} \]

Таким образом, первые 4 члена:

\[ b_1 = 3^0 = 1, \quad b_2 = 3^1 = 3, \quad b_3 = 3