Question

Доказать что функция f(x)=-4,3x-cos^2x+sin^2x убывает на множестве действительных чисел

Answer 1

Функция убывает на множестве если ее производная на данном множестве отрицательна

f  ` (x)=-4.3-2 cosx*sin^2 x-cos^2 x*2 sinx

произвдная  отрицаетльна следовательно функция убывает на множестве

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция \( f(x) = -4.3x - \cos^2x + \sin^2x \) убывает на множестве действительных чисел, нужно показать, что производная этой функции отрицательна на всей числовой прямой.

Давайте найдем производную функции \( f(x) \) по переменной \( x \):

\[ f'(x) = -4.3 - 2\cos x \cdot (-\sin x) + 2\sin x \cdot \cos x \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = -4.3 + 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x \]

\[ f'(x) = -4.3 + 4\sin x \cos x \]

Теперь давайте рассмотрим знак производной на всей числовой прямой. Для этого рассмотрим знак каждого слагаемого в выражении \( -4.3 + 4\sin x \cos x \).

1. \( -4.3 \) является константой и всегда отрицательна. 2. \( 4\sin x \cos x \) - это произведение синуса и косинуса. Знак этого выражения зависит от знака обоих множителей.

Теперь рассмотрим различные случаи:

- Если \( \sin x \) и \( \cos x \) оба положительны или оба отрицательны, то произведение \( 4\sin x \cos x \) будет положительным. - Если один из \( \sin x \) и \( \cos x \) положителен, а другой отрицателен, то произведение \( 4\sin x \cos x \) будет отрицательным.

Таким образом, в любом случае произведение \( 4\sin x \cos x \) может быть отрицательным или нулем.

Теперь объединим все слагаемые:

\[ f'(x) = -4.3 + 4\sin x \cos x \]

Поскольку \( -4.3 \) всегда отрицательно или ноль, а \( 4\sin x \cos x \) может быть отрицательным или нулем, то \( f'(x) \) всегда отрицательно или равно нулю на всей числовой прямой.

Таким образом, функция \( f(x) = -4.3x - \cos^2x + \sin^2x \) убывает на множестве действительных чисел.