Question

найти критические точки y=⅓x³-5x²+6x+2

Answer 1

y`=x^2-10x+6

x^2-10x+6=0

D=100-24=76

VD=V76=V(4*19)=2V19

x1=(10-2V19)/2=5-v19

x2=5+V19

Answer 2

Для нахождения критических точек функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 6x + 2\) нужно найти её производные и решить уравнение \(y'\) (первой производной) равное нулю.

1. Найдем первую производную \(y'\):

\[y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 6x + 2\right)\]

Производная каждого члена по отдельности:

\[y' = x^2 - 10x + 6\]

2. Теперь приравняем \(y'\) к нулю и решим уравнение:

\[x^2 - 10x + 6 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где у нас \(a = 1\), \(b = -10\), и \(c = 6\).

\[D = (-10)^2 - 4(1)(6) = 100 - 24 = 76\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{76}}{2}\]

\[x_1 = \frac{10 + \sqrt{76}}{2} \approx 9.53\]

\[x_2 = \frac{10 - \sqrt{76}}{2} \approx 0.47\]

3. Таким образом, у нас две критические точки: \(x_1 \approx 9.53\) и \(x_2 \approx 0.47\).

4. Чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим эти значения \(x\) обратно в исходную функцию \(y = \frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 6x + 2\):

\[y_1 \approx \frac{1}{3}(9.53)^3 - 5(9.53)^2 + 6(9.53) + 2\]

\[y_2 \approx \frac{1}{3}(0.47)^3 - 5(0.47)^2 + 6(0.47) + 2\]

Вычислив значения \(y_1\) и \(y_2\), мы получим соответствующие значения \(y\) для критических точек.