Question

Даны два квадратных уравнения x^2 + 2018x+a=0 и x^2 + ax + 2018 = 0 укажите какое нибудь значение а чтобы каждое уравнение имело целые корни

Answer 1

1 уравнение имеет

D/4 = (b/2)^2 - ac = 1009^2 - 1*a = 1009^2 - a

Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.

2 уравнение имеет

D/4 = (b/2)^2 - ac = (a/2)^2 - 2018 = a^2/4 - 2018

Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.

{ 1009^2 - a = n^2

{ a^2/4 - 2018 = m^2

Выделим а

{ a = 1009^2 - n^2 = (1009 - n)(1009 + n)

{ a^2/4 - m^2 = (a/2 - m)(a/2 + m) = 2018

Из 2 уравнения разложим 2018 на множители

2018 = 1*2018 = 2*1009 (1009 - простое число).

1)

{ a/2 - m = 1

{ a/2 + m = 2018

Складываем уравнения

a = 2018 + 1 = 2019

Проверяем 1 уравнение

x^2 + 2018x + 2019 = 0

D/4 = 1009^2 - 2019 = 1018081 - 2019 = 1016062 - не квадрат, не подходит.

2)

{ a/2 - m = 2

{ a/2 + m = 1009

Складываем уравнения

a = 1009 + 2 = 1011

Проверяем 1 уравнение

x^2 + 2018x + 1011 = 0

D/4 = 1009^2 - 1011 = 1018081 - 1011 = 1017070 - это тоже не квадрат.

Получается, что ни при каком а оба эти уравнения не будут иметь одновременно целые корни.

Answer 2

Для того чтобы каждое уравнение имело целые корни, необходимо, чтобы дискриминант каждого уравнения был полным квадратом.

Для первого уравнения x^2 + 2018x + a = 0, дискриминант равен D1 = (2018)^2 - 4a. Чтобы D1 был полным квадратом, он должен быть равен квадрату некоторого целого числа. Предположим, что D1 = b^2, где b - целое число. Тогда a = (2018)^2 - b^2.

Для второго уравнения x^2 + ax + 2018 = 0, дискриминант равен D2 = a^2 - 4*2018. Чтобы D2 был полным квадратом, он должен быть равен квадрату некоторого целого числа. Предположим, что D2 = c^2, где c - целое число. Тогда a = √(c^2 + 4*2018).

Таким образом, для каждого уравнения найдено значение a, при котором оно имеет целые корни. Для первого уравнения a = (2018)^2 - b^2, а для второго уравнения a = √(c^2 + 4*2018), где b и c - произвольные целые числа.