Question

Log⅓(x-2)+log⅓(12-x)≥-2

Answer 1

(x-2)*(12-x)<=9
12x-24-x^2+2x-9<=0
-x^2+14x-33<=0
x^2-14x+33>=0
x=7+-sqrt(49-33)=7+-4
x1=11
x2=3  2<x<12
x>=11
x<=3
(2;3] U [11;12)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, начнем с преобразования логарифмических выражений. Исходное неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}}(12-x) \geq -2 \]

Используем свойство логарифмов, согласно которому \(\log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(bc)}\). Применим это свойство:

\[ \log_{\frac{1}{3}}((x-2)(12-x)) \geq -2 \]

Теперь избавимся от логарифма, используя определение логарифма. Если \(\log_a{b} \geq c\), то это равносильно \(a^c \leq b\). Применим это к нашему неравенству:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \leq (x-2)(12-x) \]

Упростим левую сторону:

\[ 3^2 \leq (x-2)(12-x) \]

\[ 9 \leq (x-2)(12-x) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 9 \leq -x^2 + 10x - 24 \]

Переносим все члены в одну сторону:

\[ 0 \leq -x^2 + 10x - 33 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 10x + 33 \leq 0 \]

Для решения неравенства определим корни квадратного уравнения:

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(33)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 132}}{2} \]

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{-32}}{2} \]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что неравенство \(x^2 - 10x + 33 \leq 0\) не имеет решений.

Таким образом, исходное неравенство \(\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}}(12-x) \geq -2\) не имеет решений в действительных числах.