Question

3sin2x+cos2x=2cos^2x

Answer 1

3sin2x + cos2x= 2 cos²x
6 sinx · cosx + (cos²x - sin²x)  -2cos²x= 0      × (- 1)
sin²x - 6sinx·cosx +cos²x = 0                           : cos²x    ⇒
tg²x - 6tgx +1= 0
 tgx = 3+/-√(9-1) = 3+/-√8
 tgx1 = 3-√8
                             x1= arctg(3-√8) + πk ;   k∈N
 tgx2= 3+√8
                             x2 = arctg(3+√8) +πm   ;  m∈N

Answer 2

Данное уравнение, 3sin^2(x) + cos^2(x) = 2cos^2(x), является тригонометрическим уравнением, которое можно решить, используя свойства тригонометрии и алгебры. Давайте разберемся подробнее.

Упрощение уравнения

Для начала, заметим, что мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, согласно тригонометрическому тождеству. Подставим это в наше уравнение:

3(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) = 2cos^2(x)

Раскроем скобки и упростим:

3 - 3cos^2(x) + cos^2(x) = 2cos^2(x)

Теперь у нас есть простое уравнение с одной переменной.

Перенос переменных

Для решения уравнения, давайте соберем все члены с cos^2(x) на одной стороне и все остальные члены на другой стороне:

3 - 3cos^2(x) + cos^2(x) - 2cos^2(x) = 0

Упростим это уравнение:

3 - 4cos^2(x) = 0

Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение -4cos^2(x) + 3 = 0. Мы можем решить его, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

Перенесем все члены на одну сторону:

-4cos^2(x) + 3 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед cos^2(x):

4cos^2(x) - 3 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, квадратное уравнение или другие методы.

Решение уравнения через факторизацию

Мы можем факторизовать это уравнение следующим образом:

(2cos(x) - 1)(2cos(x) + 3) = 0

Теперь мы можем найти значения cos(x), когда каждый из этих множителей равен нулю.

Решение первого множителя

Приравняем первый множитель к нулю:

2cos(x) - 1 = 0

Решим это уравнение:

2cos(x) = 1 cos(x) = 1/2

Решение второго множителя

Приравняем второй множитель к нулю:

2cos(x) + 3 = 0

Решим это уравнение:

2cos(x) = -3 cos(x) = -3/2

Результаты

Мы получили два значения для cos(x): 1/2 и -3/2. Это означает, что уравнение 3sin^2(x) + cos^2(x) = 2cos^2(x) имеет два решения:

1) cos(x) = 1/2 2) cos(x) = -3/2

Обратите внимание, что значения sin(x) могут быть найдены, используя тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, но это необходимо проверить в конкретном контексте задачи или уравнения.