Question

Найти производную y=lnx·∛x^2

Answer 1

y=lnx·∛x^2
y = ln х · х^ 2/3
y' = 1/x  · х^ 2/3 + ln x  · 2/3  · x^(-1/3)
y' = 1/∛x  + 2ln x/ 3∛x
y' = 1/∛x (1 + 2/3 ln x)

Answer 2

Чтобы найти производную функции \(y = \ln(x) \cdot \sqrt[3]{x^2}\), мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций. Давайте разберемся шаг за шагом.

Пусть \(u = \ln(x)\), а \(v = \sqrt[3]{x^2}\). Тогда наша функция может быть записана как \(y = u \cdot v\).

Применим правило производной произведения:

\[y' = u'v + uv'\]

Теперь найдем производные \(u'\) и \(v'\):

1. \(u' = \frac{1}{x}\) (по правилу дифференцирования логарифма). 2. \(v' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\) (по правилу дифференцирования корня).

Теперь подставим все обратно в формулу для \(y'\):

\[y' = \frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} + \ln(x) \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\]

Мы можем упростить это выражение, объединив члены с общими множителями:

\[y' = \frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{3} \cdot \ln(x) \cdot x^{-\frac{1}{3}}\]

Таким образом, производная функции \(y = \ln(x) \cdot \sqrt[3]{x^2}\) равна:

\[y' = \frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{3} \cdot \ln(x) \cdot x^{-\frac{1}{3}}\]