Question

12. Решите уравнение: (x+2)⁴+5(x+2)²-36=0

Answer 1

(x+2)^2=t
t^2+5t-36
D=25+144=169
t1=-5+13/2=4,5
t2=-5-13/2=-9

(4,5+2)^2=42,5
(-9+2)^2=49

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем замену переменной: пусть u = x + 2. Тогда уравнение примет вид:

u⁴ + 5u² - 36 = 0

Теперь решим это уравнение относительно u. Положим данное уравнение равным нулю и раскроем скобки:

u⁴ + 5u² - 36 = 0

Перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения относительно u²:

(u²)² + 5u² - 36 = 0

Обозначим u² = t:

t² + 5t - 36 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = 5 и c = -36. Подставим значения:

D = 5² - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня t₁ и t₂:

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + √169) / 2 = (-5 + 13) / 2 = 4 t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - √169) / 2 = (-5 - 13) / 2 = -9

Теперь найдем значения u, подставив найденные значения t:

u₁ = √t₁ = √4 = 2 u₂ = √t₂ = √(-9) - не имеет действительных корней, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено.

Таким образом, мы получили два значения u: u₁ = 2 и u₂ = √(-9). Подставим эти значения обратно в нашу замену переменной:

u₁ = x + 2 2 = x + 2 x = 0

u₂ = x + 2 √(-9) = x + 2 x = -2 - √9 = -2 - 3 = -5

Итак, у нас есть два решения уравнения: x = 0 и x = -5.