Question

Решите неравенство 4^х + 3*2^х < 4. В ответе запишите большее целое значение, которое является решением данного неравенства.

Answer 1

Пусть 2^x=y
y^2+3y+2,25   меньше 2,5*2,5
у меньше 1 и больше -4.
Но, по нашему соглашению ( обозначению) у больше 0.
Значит ответ : х меньше 0.
Большее целое число х=-1

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

\[4^x + 3 \cdot 2^x < 4.\]

Для удобства введем замену. Пусть \(y = 2^x\). Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

\[4^x + 3 \cdot 2^x < 4 \implies (2^2)^x + 3 \cdot 2^x < 4 \implies 2^{2x} + 3 \cdot 2^x < 4.\]

Теперь заменяем \(2^x\) на \(y\):

\[y^2 + 3y < 4.\]

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю:

\[y^2 + 3y - 4 < 0.\]

Теперь факторизуем квадратное уравнение:

\[(y - 1)(y + 4) < 0.\]

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки каждого множителя:

1. \(y - 1 < 0 \implies y < 1\). 2. \(y + 4 < 0 \implies y < -4\).

Теперь построим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{c|ccc|c} & y - 1 & y + 4 & (y - 1)(y + 4) \\ \hline y < -4 & - & - & + \\ -4 < y < 1 & - & + & - \\ y > 1 & + & + & + \end{array} \]

Таким образом, неравенство \((y - 1)(y + 4) < 0\) выполняется на интервале \(-4 < y < 1\).

Теперь вспоминаем, что \(y = 2^x\). Заменяем \(y\) обратно:

\[2^x < 1 \implies x < 0.\]

Таким образом, неравенство \(4^x + 3 \cdot 2^x < 4\) выполняется при \(x < 0\). Большее целое значение, которое удовлетворяет этому условию, - это \(-1\).

Таким образом, решение данного неравенства: \(x < -1\).