Question

Помогите пожалуйста решить уравнения 1)4sin^2x+11sinx+7=0 2)8sin^2-14cosx+1=0 3)2sin^2x+9sinxcosx+9cos^2x=0 Вообще не разбираюсь в этом.

Answer 1

$4sin^2x+11sinx+7=0\\sinx=u\\4u^2+11u+7=0\\D:121-112=9\\u=\frac{-11\pm3}{8}\\\\u_1=-1\\sinx=-1\\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-\frac{7}{4}\\sinx \neq -\frac{7}{4}, \; sinx\in [-1;1].$


$8sin^2x-14cosx+1=0\\8-8cos^2x-14cosx+1=0|*(-1)\\8cos^2x+14cosx-9=0\\cosx=u\\8u^2+14u-9=0\\D:196+288=484\\u=\frac{-14\pm22}{16}=\frac{-7\pm 11}{8}\\\\u_1=\frac{1}{2}\\cosx=\frac{1}{2}\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-\frac{9}{4}\\cosx \neq -\frac{9}{4}, \; cosx\in [-1;1].$


$2sin^2x+9sinxcosx+9cos^2x=0|cos^2x\\2tg^2x+9tgx+9=0\\tgx=u\\2u^2+9u+9=0\\D:81-72=9\\u=\frac{-9\pm 3}{4}\\\\u_1=-\frac{3}{2}\\tgx=-\frac{3}{2}\\x=-arctga\frac{3}{2}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-3\\tgx=-3\\x=-arctg3+\pi n, \; n\in Z.$

Answer 2

Уравнение 1: 4sin^2x + 11sinx + 7 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать метод замены переменной. Предлагаю ввести новую переменную, например, пусть t = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

4t^2 + 11t + 7 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. Давайте попробуем факторизацию:

(2t + 1)(2t + 7) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

2t + 1 = 0 => t = -1/2 2t + 7 = 0 => t = -7/2

Так как t = sin(x), мы можем найти значения x, используя обратную функцию синуса:

sin(x) = -1/2 => x = arcsin(-1/2) + 2πn или x = π - arcsin(-1/2) + 2πn, где n - целое число. sin(x) = -7/2 => x = arcsin(-7/2) + 2πn или x = π - arcsin(-7/2) + 2πn, где n - целое число.

Уравнение 2: 8sin^2x - 14cosx + 1 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать тригонометрические тождества. Давайте воспользуемся тождеством sin^2x + cos^2x = 1:

8(1 - cos^2x) - 14cosx + 1 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

8 - 8cos^2x - 14cosx + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x):

8cos^2x + 14cosx - 7 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. Давайте попробуем факторизацию:

(2cosx - 1)(4cosx + 7) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

2cosx - 1 = 0 => cosx = 1/2 => x = arccos(1/2) + 2πn или x = -arccos(1/2) + 2πn, где n - целое число. 4cosx + 7 = 0 => cosx = -7/4 => x = arccos(-7/4) + 2πn или x = -arccos(-7/4) + 2πn, где n - целое число.

Уравнение 3: 2sin^2x + 9sinxcosx + 9cos^2x = 0

Для решения этого уравнения также можно использовать тригонометрические тождества. Давайте воспользуемся тождеством sin^2x + cos^2x = 1:

2sin^2x + 9sinxcosx + 9(1 - sin^2x) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2sin^2x + 9sinxcosx + 9 - 9sin^2x = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x):

-7sin^2x + 9sinxcosx + 9 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. Давайте попробуем факторизацию:

(7sinx - 9)(sinx + 1) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

7sinx - 9 = 0 => sinx = 9/7 => x = arcsin(9/7) + 2πn или x = π - arcsin(9/7) + 2πn, где n - целое число. sinx + 1 = 0 => sinx = -1 => x = arcsin(-1) + 2πn или x = π - arcsin(-1) + 2πn, где n - целое число.

Надеюсь, это поможет вам решить данные уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!