Question

Найдите точку минимума функции y=(6-4x)cosx+4sinx+6, принадлежащую промежутку (0; П/2)

Answer 1

Y`=-4cosx-sinx*(6-4x)+4cosx=-sinx*(6-4x)=0
sinx=0∉(0;π/2)
6-4x=0⇒4x=6⇒x=1,5
            -                      +
(0)------------------(1,5)-------(π/2)
                          min
y=0*cos1,5+4sin1,5+6=4sin1,5+6≈4*1+6≈10
(1,5;10)

Answer 2

Для поиска точки минимума функции \( y = (6 - 4x) \cos(x) + 4 \sin(x) + 6 \) на интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \), нужно выполнить несколько шагов.

1. Находим производную функции: Для нахождения экстремумов (максимумов или минимумов) функции используем производную. Сначала найдем первую производную \( y' \) данной функции.

\[ y = (6 - 4x) \cos(x) + 4 \sin(x) + 6 \]

Для удобства вычислений используем правило производной произведения: \((uv)' = u'v + uv'\) и правило дифференцирования синуса и косинуса.

\[ y' = -4 \cos(x) - 4x \sin(x) - 4 \sin(x) + 4 \cos(x) \]

Упростим это выражение:

\[ y' = -4(\cos(x) + x \sin(x) + \sin(x) - \cos(x)) \]

\[ y' = -4(x \sin(x) + 2 \sin(x)) \]

\[ y' = -4 \sin(x)(x + 2) \]

2. Находим критические точки: Чтобы найти точки, где производная равна нулю или не существует, приравняем \( y' \) к нулю и найдем значения \( x \), соответствующие этому условию:

\[ -4 \sin(x)(x + 2) = 0 \]

Из этого уравнения получаем два возможных случая: - \( \sin(x) = 0 \) (это будет точка минимума) - \( x + 2 = 0 \), что приводит к \( x = -2 \), но так как интервал \( (0, \frac{\pi}{2}) \), то это значение не подходит.

Таким образом, нам нужно рассмотреть \(\sin(x) = 0\) для нахождения точки минимума на заданном интервале.

\( \sin(x) = 0 \) при \( x = 0, \pi, 2\pi, ... \)

На интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \) только \( x = 0 \) удовлетворяет условию.

3. Проверяем точку на экстремум: Чтобы убедиться, что это точка минимума, нужно проверить вторую производную.

Вторая производная \( y'' \) будет: \[ y'' = -4 \cos(x)(x + 2) - 4 \sin(x) \]

Подставляем \( x = 0 \):

\[ y'' = -4 \cos(0)(0 + 2) - 4 \sin(0) = -4(1)(2) - 4(0) = -8 \]

Значение второй производной отрицательное, что указывает на локальный максимум или минимум. При этом, так как \( y'' < 0 \), это точка минимума.

Таким образом, на интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \) точка минимума функции \( y = (6 - 4x) \cos(x) + 4 \sin(x) + 6 \) находится при \( x = 0 \), и ее значение можно рассчитать, подставив \( x = 0 \) в исходную функцию \( y \).