Question

При яких значеннях a, функція:f(x) = (a-4)x^2 +2ax+a+2не має жодних нулів

Answer 1

Как я понял , необходимо найти такие значения параметра а при которых уравнение не имеет нулей, то есть не имеет корней или решений.
Уравнение квадратное, если необходимо чтобы корней не было, дискриминант квадратного трёхчлена должен быть отрицательным.
4a^2-4(a-4)(a+2)<0
4a^2-4(a^2-2a-8)<0
8a<-32
a<-4
Таким образом уравнение не имеет нулей (корней) при a<-4.
Ответ: a<-4

Answer 2

Функція \( f(x) = (a-4)x^2 + 2ax + a + 2 \) не має жодних нулів, коли її значення завжди залишаються від'ємними або завжди додатніми для будь-якого значення \( x \).

Нуль функції \( f(x) \) визначається як значення \( x \), при якому \( f(x) = 0 \). Тобто, ми шукаємо значення \( x \), для якого рівняння \((a-4)x^2 + 2ax + a + 2 = 0\) не має розв'язків.

Розглянемо дискримінант квадратного рівняння для визначення його кількості розв'язків. Дискримінант \( \Delta \) для квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) визначається як \( \Delta = b^2 - 4ac \).

У нашому випадку, коефіцієнти \( a = (a-4) \), \( b = 2a \), і \( c = (a+2) \).

Отже, дискримінант \( \Delta \) для рівняння \((a-4)x^2 + 2ax + a + 2 = 0\) буде \( \Delta = (2a)^2 - 4(a-4)(a+2) \).

Якщо \( \Delta < 0 \), то квадратне рівняння не має розв'язків, і функція не має нулів.

Отже, ми отримуємо умову:

\[ (2a)^2 - 4(a-4)(a+2) < 0 \]

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

\[ 4a^2 - 4(a-4)(a+2) < 0 \]

\[ 4a^2 - 4(a^2 - 2a - 8) < 0 \]

\[ 4a^2 - 4a^2 + 8a + 32 < 0 \]

\[ 8a + 32 < 0 \]

\[ a < -4 \]

Отже, функція \( f(x) = (a-4)x^2 + 2ax + a + 2 \) не має жодних нулів, коли \( a < -4 \).