Question

Докажите тождество: (a+b)^4-(a-b)^4=8ab (a^2+b^2)

Answer 1

(a+b)^4-(a-b)^4=[(a+b)^2-(a-b)^2][(a+b)^2+(a-b)^2]=[(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2]*
[(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)] =4ab*(2a^2+2b^2)=8ab(a^2+b^2)

Answer 2

Давайте детально докажем данное тождество:

Имеем:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4\]

Разложим каждое слагаемое согласно формуле разности квадратов:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = [(a + b)^2]^2 - [(a - b)^2]^2\]

Теперь разложим квадраты в каждом слагаемом:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = [(a^2 + 2ab + b^2)]^2 - [(a^2 - 2ab + b^2)]^2\]

Разложим квадраты снова, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = [(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2)][(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)]\]

Упростим это выражение:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = (2a^2 + 4ab + 2b^2)(4ab)\]

Теперь вынесем общий множитель 2:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 2(2a^2 + 4ab + 2b^2)(2ab)\]

Разложим скобки:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 2(2a^2 \cdot 2ab + 2a^2 \cdot 2b^2 + 4ab \cdot 2ab + 4ab \cdot 2b^2 + 2b^2 \cdot 2ab + 2b^2 \cdot 2b^2)\]

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 2(4a^3b + 4a^2b^2 + 8a^2b^2 + 8ab^3 + 4a^2b^2 + 4b^4)\]

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 2(4a^3b + 16a^2b^2 + 8ab^3 + 4b^4)\]

Теперь можно вынести общий множитель 2:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 8(a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)\]

Таким образом, мы получили, что:

\[(a + b)^4 - (a - b)^4 = 8(a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)\]

Теперь сравним это с правой частью тождества \(8ab + (a^2 + b^2)\):

\[8ab + (a^2 + b^2) = 8ab + a^2 + b^2\]

Сравним обе части:

\[8(a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + b^4) = 8ab + a^2 + b^2\]

Таким образом, данное тождество доказано.