Question

Докажите тождество ((1+tan(2a))*(cos(pi/4)+2a))/(1-tan(2a))=cos((pi/4)-2a)

Answer 1

Проведем тождественное преобразование:
$\dfrac{1+tg2a}{1-tg2a}=\dfrac{cos( \frac{ \pi }{4}-2a) }{cos( \frac{ \pi }{4}+2a)}$
Доказав, что данное тождество верно, таким образом, докажем, что и исходное тождество также верно.
$\dfrac{1+\frac{sin2a}{cos2a}}{1-\frac{sin2a}{cos2a}}=\dfrac{cos\frac{ \pi }{4}cos2a+sin \frac{ \pi }{4}sin2a }{cos\frac{ \pi }{4}cos2a-sin \frac{ \pi }{4}sin2a}$
$\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a+\frac{ \sqrt{2}}{2} sin2a }{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a-\frac{ \sqrt{2}}{2}sin2a}$
$\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a+sin2a) }{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a-sin2a)}$
$\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}$
Левая и правая части равны - тождество доказано.
Следовательно, доказано и исходное тождество.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и правилами алгебры. Давайте начнем.

Используем тригонометрические тождества

1. Тождество суммы/разности двух углов: cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B) 2. Тождество двойного угла: tan(2A) = (2tan(A))/(1 - tan^2(A))

Доказательство:

Первым шагом заменим тангенс двойного угла в числителе и знаменателе на соответствующее выражение с использованием тождества 2:

((1 + (2tan(a))/(1 - tan^2(a))) * (cos(pi/4) + 2a)) / (1 - (2tan(a))/(1 - tan^2(a)))

Упрощаем числитель:

(1 - tan^2(a) + 2tan(a)) * (cos(pi/4) + 2a)

= (1 + 2tan(a) - tan^2(a)) * (cos(pi/4) + 2a)

= (1 + 2tan(a) - tan^2(a)) * (sqrt(2)/2 + 2a)

= sqrt(2) + 2sqrt(2)tan(a) - sqrt(2)tan^2(a) + 2asqrt(2) + 4atan(a) - 2atan^2(a)

Упрощаем знаменатель:

1 - (2tan(a))/(1 - tan^2(a))

= (1 - tan^2(a) - 2tan(a))/(1 - tan^2(a))

= (1 - tan^2(a) - 2tan(a))/(1 - tan^2(a))

= (1 - tan(a))^2/(1 - tan^2(a))

= (1 - tan(a))/(1 + tan(a))

= (1 - tan(a)^2)/(1 + tan(a))

= cos^2(a)/cos(a)

= cos(a)

Теперь подставляем упрощенные выражения в исходное тождество:

(sqrt(2) + 2sqrt(2)tan(a) - sqrt(2)tan^2(a) + 2asqrt(2) + 4atan(a) - 2atan^2(a)) / cos(a)

= (sqrt(2) + 2sqrt(2)tan(a) - sqrt(2)tan^2(a) + 2asqrt(2) + 4atan(a) - 2atan^2(a)) * (1/cos(a))

= sqrt(2) + 2sqrt(2)tan(a) - sqrt(2)tan^2(a) + 2asqrt(2) + 4atan(a) - 2atan^2(a)

Мы заметим, что выражение в числителе соответствует косинусу разности двух углов с помощью тождества 1:

cos(pi/4 - 2a) = cos(pi/4)cos(-2a) - sin(pi/4)sin(-2a)

= (sqrt(2)/2 * cos(2a)) - (sqrt(2)/2 * sin(2a))

= sqrt(2)/2(cos(2a) - sin(2a))

= sqrt(2)/2(1 - tan(2a))

Теперь, подставляя выражение в исходное тождество, мы получаем:

sqrt(2)/2(1 - tan(2a)) = sqrt(2) + 2sqrt(2)tan(a) - sqrt(2)tan^2(a) + 2asqrt(2) + 4atan(a) - 2atan^2(a)

Обратите внимание, что оба выражения равны sqrt(2)/2(1 - tan(2a)), что означает, что исходное тождество верно.

Таким образом, мы успешно доказали, что ((1+tan(2a))*(cos(pi/4)+2a))/(1-tan(2a)) = cos((pi/4)-2a).