Question

Докажите, что при любом натуральном n, большем 1, число n^5-n делится нацело на 30.

Answer 1

Натуральное значит больше нуля и целое

(n^5—n)=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=

=n(n-1)(n+1)(n²+1)

На 30 делится число, если оно закначивается на 0 и сумма цифр делитсч на 3

Из числел n, n+1,n-1,n²+1 при любом значении n всегда будет одно кратное 2.одно кратное 3 и одно кратное 5.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что при любом натуральном \( n \), большем 1, число \( n^5 - n \) делится нацело на 30, давайте воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: При \( n = 2 \): \[ 2^5 - 2 = 30, \] что делится нацело на 30. Таким образом, база индукции верна.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого \( k \geq 2 \): \[ k^5 - k \] делится нацело на 30.

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для \( k + 1 \): \[ (k + 1)^5 - (k + 1) = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - (k + 1) \] Упростим это выражение: \[ = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k - k \] \[ = (k^5 - k) + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k \]

Мы уже знаем, что \( k^5 - k \) делится нацело на 30 по предположению индукции. Теперь докажем, что оставшаяся часть также делится нацело на 30.

Рассмотрим каждый член отдельно: - \( 5k^4 \) делится нацело на 30, так как кратно 5. - \( 10k^3 \) делится нацело на 30, так как кратно 10. - \( 10k^2 \) делится нацело на 30, так как кратно 10. - \( 5k \) делится нацело на 30, так как кратно 5.

Таким образом, каждый член делится нацело на 30, и сумма также делится нацело на 30.

Таким образом, по принципу математической индукции мы показали, что для любого натурального числа \( n \), большего 1, число \( n^5 - n \) делится нацело на 30.