Question

Найти промежутки монотонности функции f(x) =x^4-8x^2+3

Answer 1

найдем точки экстремумов

f'(x) = 4x³-16x = 0

x(x²-4) = 0

экстремумы - точки 0, -2 и +2, соответственно промежутки монотонности будут между этими точками

возрастание [2;∞)  и [-2;0]

убывание (-∞;-2] и [0;2]

Answer 2

Конечно, рад помочь! Чтобы найти промежутки монотонности функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 \), нам нужно проанализировать её производные.

1. Найдем производную первого порядка \( f'(x) \): \[ f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 \]

Используем правило дифференцирования для каждого члена: \[ f'(x) = 4x^3 - 16x \]

2. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \), чтобы определить экстремумы функции: \[ f'(x) = 4x^3 - 16x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Таким образом, получаем корни \( x = -2, 0, 2 \).

3. Теперь определим знак \( f'(x) \) в интервалах между найденными корнями (-бесконечность, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +бесконечность):

Выберем тестовые точки в каждом интервале: - Для интервала (-бесконечность, -2) возьмем x = -3 (производная отрицательна) - Для интервала (-2, 0) возьмем x = -1 (производная положительна) - Для интервала (0, 2) возьмем x = 1 (производная отрицательна) - Для интервала (2, +бесконечность) возьмем x = 3 (производная положительна)

Составим таблицу знаков: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & (-2, 0) & (0, 2) & (2, \infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - & + \\ \hline \end{array} \]

Итак, функция \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 3 \) убывает на интервалах (-бесконечность, -2) и (0, 2), а возрастает на интервалах (-2, 0) и (2, +бесконечность).

Это означает, что функция имеет локальный максимум в точке \( x = -2 \) и локальный минимум в точке \( x = 2 \), а также возрастает за пределами этих точек и убывает между ними.