Question

25^x+1<6*5^x+1-5 15 баллов

Answer 1

25^(x+1)<6*5^(x+1)-5

(5^(x+1))²-6*5^(x+1)+5<0 показательное квадратное неравенство. замена переменных:
5^(x+1)=t, t>0

t²-6t+5<0 метод интервалов:
1. t²-6t+5=0. t₁=1, t₂=5
             +               -                    +
2.   -----------(1)------------(5)-------------->x

3. t₁>1, t₂<5

обратная замена:

t₁>1. 5^(x+1)>1. 5^(x+1)>5⁰. основание степени a=5, 5>1 знак неравенства не меняем
x+1>0.  x>-1

t₂<5. 5^(x+1)<5. 5^(x+1)<5¹. a=5, 5>1
x+1<1. x<0

ответ: x∈(-1;0)

Answer 2

25^x+1<6*5^x+1-5
5^2x+1<6*5^x-4
5^x²-6*5^x+5<0
З.П. 5^x=t
t²-6t+5<0
D=36-20=16
t=6+-4/2=5;1
ОЗП
5^x=5
5^x=1
x<1
x>0

x∈(0, 1)

Answer 3

Для решения данного неравенства нужно использовать свойства степеней и замену переменной. Давайте разберемся по шагам:

1. Заменим переменную. Пусть t = 5^x. Тогда неравенство примет вид: 25t + 1 < 6t + 1 - 5 + 15.

2. Упростим правую часть неравенства: 6t + 1 - 5 + 15 = 6t + 11.

3. Заменим неравенство: 25t + 1 < 6t + 11.

4. Перенесем все слагаемые с t на одну сторону неравенства: 25t - 6t < 11 - 1.

5. Упростим левую часть неравенства: 19t < 10.

6. Разделим обе части неравенства на 19: t < 10/19.

7. Вернемся к исходной переменной: 5^x < 10/19.

8. Перейдем к неравенству в степенной форме: xlog5 < log(10/19).

9. Разделим обе части неравенства на log5: x < log(10/19) / log5.

10. Посчитаем значение правой части неравенства: log(10/19) / log5 ≈ -0.529.

Итак, решение исходного неравенства: x < -0.529.