Question

Существует ли такое свойство логарифмов: log (a) = 1/k a^k

Answer 1

Есть такое свойство наверное это имелось в виду, где n основание логарифма:

$LOGn(a) = \frac{k}{k}LOGn(a) = LOGn^k(a^k) = \frac{1}{k}LOGn(a^k)$

Answer 2

Нет, такого свойства логарифмов не существует. Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число. Например, \\(\\log_2 8 = 3\\), потому что \\(2^3 = 8\\). Свойство, которое вы написали, не соответствует этому определению, так как логарифм не равен степени, а равен обратному значению показателя степени. Кроме того, это свойство нарушает основное логарифмическое тождество, которое гласит, что \\(a^{\\log_a b} = b\\). Если бы ваше свойство было верным, то получилось бы, что \\(a^{\\log_a a} = a\\), но по вашему свойству \\(\\log_a a = \\frac{1}{k} a^k\\), где \\(k\\) - любое число. Тогда \\(a^{\\frac{1}{k} a^k} = a\\), что неверно для большинства значений \\(a\\) и \\(k\\). Например, если \\(a = 2\\) и \\(k = 2\\), то \\(2^{\\frac{1}{2} 2^2} = 2^2 = 4\\), а не \\(2\\).