Question

Обчислити прохідну y'' y=x3+5

Answer 1

Решение:
y'(x)=3x²;
y"(x)=6x

Answer 2

Я можу допомогти вам обчислити прохідну y''+y=x^3+5. Для цього я скористаюся правилом суми, правилом множення та формулою для похідної степеневої функції. Ось мої кроки:

1. Знайдемо першу похідну y' за правилом суми: y'=(y+x^3+5)'=y'+(x^3+5)'. 2. Знайдемо похідну x^3+5 за формулою для похідної степеневої функції: (x^3+5)'=3x^2+0=3x^2. 3. Підставимо отриманий вираз у рівняння з кроку 1: y'=y'+3x^2. 4. Перенесемо y' на одну сторону рівняння: y'-y'=3x^2-0. 5. Спростимо рівняння: 0=3x^2. 6. Знайдемо другу похідну y'' за правилом множення: y''=(y+x^3+5)''=(y'+3x^2)'=y''+6x. 7. Підставимо отриманий вираз у початкове рівняння: y''+y=x^3+5 => y''+6x+y=x^3+5. 8. Перенесемо всі члени рівняння на одну сторону: y''+6x+y-x^3-5=0.

Отже, ми отримали диференціальне рівняння другого порядку: y''+6x+y-x^3-5=0. Якщо ви хочете знайти загальний розв'язок цього рівняння, ви можете скористатися покроковим калькулятором. Я сподіваюся, що це було корисно для вас.

Answer 3

Щоб обчислити прохідну другого порядку функції y'' + y = x^3 + 5, спочатку знайдемо похідну першого порядку від обох сторін рівняння.

Для цього знайдемо похідну від x^3 + 5, це дасть нам значення першої похідної функції y.

Похідна від x^3 дорівнює 3x^2, оскільки коефіцієнт 3 спадає, а показник ступеня зменшується на 1.

Похідна від константи 5 дорівнює 0, оскільки похідна від будь-якої константи завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна від x^3 + 5 дорівнює 3x^2 + 0, або просто 3x^2.

Тепер знайдемо похідну від обох сторін рівняння y'' + y = x^3 + 5.

Похідна від y'' дорівнює другій похідній від функції y за визначенням.

Отже, похідна від y'' дорівнює y''.

Таким чином, наше рівняння тепер має вигляд y'' + y = 3x^2.

Тепер ми маємо диференціальне рівняння другого порядку, яке можна розв'язати.

Одним з методів розв'язання цього рівняння є метод варіації довільної сталої.

Розв'язати це рівняння можна шляхом припущення, що розв'язок має вигляд y = Ae^rx, де A і r - це довільні сталі.

Підставимо цей вигляд розв'язку в рівняння y'' + y = 3x^2.

Отримаємо r^2Ae^rx + Ae^rx = 3x^2.

Факторизуємо за Ae^rx: (r^2 + 1)Ae^rx = 3x^2.

Оскільки Ae^rx не дорівнює нулю, ми можемо поділити обидві сторони на Ae^rx: r^2 + 1 = 3x^2 / (Ae^rx).

Тепер ми маємо рівняння для r: r^2 + 1 = 3x^2 / (Ae^rx).

Щоб розв'язати це рівняння для r, ми можемо використовувати методи розв'язання квадратних рівнянь.

Знайдемо значення r, підставивши отримане рівняння у квадратне рівняння r^2 + 1 = 3x^2 / (Ae^rx).

Розв'яжемо це рівняння, щоб знайти значення r, а потім знайдемо значення A, використовуючи вихідні умови задачі.

Після знаходження значення A та r, ми можемо підставити їх у вигляд розв'язку y = Ae^rx, щоб отримати остаточний розв'язок диференціального рівняння.

Цей процес може бути дещо складним і залежить від конкретного рівняння та його умов. Тому конкретний розв'язок для даного рівняння y'' + y = x^3 + 5 може бути складним для обчислення.