Question

Разложите на множители y^2-x^2-9x-9y

Answer 1

Y²-x²-9x-9y=(y+x)(y-x)-9(x+y)=(x+y)(y-x-9)

Answer 2

Определение корней этого уравнения быстро решить не получится, так как оно не выглядит, как что-то, что можно легко факторизовать. Но мы можем попробовать провести некоторые алгебраические преобразования и упростить его.

Итак, у нас есть уравнение:

\[y^2 - x^2 - 9x - 9y\]

Давайте попробуем выделить полные квадраты по \(x\) и \(y\):

\[y^2 - x^2 - 9x - 9y = (y^2 - 9y) - (x^2 + 9x)\]

Теперь добавим и вычтем константы внутри скобок так, чтобы мы могли выделить полные квадраты:

\[= y^2 - 9y + \frac{81}{4} - \frac{81}{4} - x^2 - 9x + \frac{81}{4} - \frac{81}{4}\]

Теперь мы можем записать это как сумму полных квадратов:

\[(y^2 - 9y + \frac{81}{4}) - (x^2 + 9x - \frac{81}{4})\]

Теперь обе части можно записать как квадраты:

\[(y - \frac{9}{2})^2 - (x + \frac{9}{2})^2\]

Таким образом, исходное уравнение может быть переписано в виде:

\[(y - \frac{9}{2})^2 - (x + \frac{9}{2})^2 = 0\]

Теперь, если приравнять это к нулю, получится:

\[(y - \frac{9}{2})^2 = (x + \frac{9}{2})^2\]

Теперь мы можем взять квадратный корень от обеих сторон:

\[y - \frac{9}{2} = \pm (x + \frac{9}{2})\]

Теперь мы можем решить относительно \(y\):

\[y = \pm (x + \frac{9}{2}) + \frac{9}{2}\]

Или в более компактной форме:

\[y = \pm x + 9\]

Таким образом, уравнение \(y^2 - x^2 - 9x - 9y = 0\) факторизуется в виде двух прямых линий: \(y = x + 9\) и \(y = -x + 9\).