Question

Докажите тождество sinx+cosx=√2cos(π/4-x)

Answer 1

$sinx+cosx=\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-x)$
$sinx+cosx=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}cosx+sin\frac{\pi}{4}sinx)$
$sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{cosx}{\sqrt{2}}+\frac{sinx}{\sqrt{2}})$
$sinx+cosx=cosx+sinx$

Answer 2

Для доказательства тождества `sin(x) + cos(x) = √2cos(π/4 - x)` мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебруические преобразования. Давайте посмотрим на каждую часть тождества и докажем его поэтапно.

Левая часть тождества:

Начнем с левой части тождества: `sin(x) + cos(x)`. Используя тригонометрическое тождество `sin(x) = cos(π/2 - x)`, мы можем переписать левую часть таким образом:

`sin(x) + cos(x) = cos(π/2 - x) + cos(x)`

Теперь применим алгебраическое преобразование, чтобы объединить два косинуса:

`cos(π/2 - x) + cos(x) = 2cos((π/2 - x + x)/2)cos((π/2 - x - x)/2)`

Упрощая это выражение, получаем:

`2cos(π/4)cos(-x/2)`

Правая часть тождества:

Теперь рассмотрим правую часть тождества: `√2cos(π/4 - x)`. Используя тригонометрическое тождество `cos(-x) = cos(x)`, мы можем переписать правую часть таким образом:

`√2cos(π/4 - x) = √2cos(π/4 - x)`

Сравниваем левую и правую части:

Теперь сравним полученные выражения для левой и правой частей тождества:

`2cos(π/4)cos(-x/2)` и `√2cos(π/4 - x)`

Мы видим, что оба выражения равны между собой, так как `cos(π/4) = √2` и `cos(-x/2) = cos(π/4 - x)`.

Таким образом, мы доказали тождество `sin(x) + cos(x) = √2cos(π/4 - x)`.