Question

1) 9^2+log₉2 2) 2cosx³+5cosx²-3cosx=0 3) log₃(7-x) ≥ 2log₃7

Answer 1

9^2+log₉2 =9²*9:^log(9)2=81*2=162

2(cosx)³+5(cosx)²-3cosx=0 
cosx=a
2a³+5a²-3a=0
a(2a²+5a-3)=0
a=0⇒cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈z
2a²+5a-3=0
D=25+24=49
a1(-5-7)/4=-3⇒cosx=-3<-1 нет решения
а2=(-5+7)/4=1/2⇒cosx=1/2⇒x=+-π/6+2πk,k∈z

log₃(7-x) ≥ 2log₃7
log(3)(7-x)≥log(3)49
{7-x>0⇒x<7
{7-x≥49⇒x≤7-49⇒x≤-42
x∈(-∞;-42]

Answer 2

1) Решим уравнение 9^2 + log₉2 = 0: 9^2 = 81, а log₉2 = log₂/log₉ = log₂/log₃² = log₂(1/3²) = log₂(1/9). Таким образом, получаем уравнение 81 + log₂(1/9) = 0. Переносим 81 на другую сторону и меняем знак логарифма: log₂(1/9) = -81. Теперь применяем свойство логарифма: logₐb = c, если a^c = b. Таким образом, 2^-81 = 1/9. Поскольку 2^-81 очень маленькое число, мы можем сказать, что его можно пренебречь. Таким образом, уравнение не имеет решений.

2) Решим уравнение 2cosx³ + 5cosx² - 3cosx = 0: Приведем подобные слагаемые: 2cosx³ + 5cosx² - 3cosx = 0. Теперь выносим cosx за скобки: cosx(2cos²x + 5cosx - 3) = 0. Таким образом, мы имеем два возможных решения: cosx = 0 или 2cos²x + 5cosx - 3 = 0.

a) Решим уравнение cosx = 0: Так как cosx = 0, то x = π/2 + kπ, где k - целое число.

b) Решим уравнение 2cos²x + 5cosx - 3 = 0: Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. Факторизуя, получим: (2cosx - 1)(cosx + 3) = 0. Таким образом, мы имеем два возможных решения: cosx = 1/2 или cosx = -3.

- Если cosx = 1/2, то x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число. - Если cosx = -3, то это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1 или больше 1.

3) Решим неравенство log₃(7-x) ≥ 2log₃7: Применим свойство логарифма logₐb ≥ c, если a^c ≤ b: 3^2 ≤ 7 - x. 9 ≤ 7 - x. Переносим 7 на другую сторону: -7 ≤ -x. Меняем знак: 7 ≥ x. Таким образом, решением неравенства является любое число x, удовлетворяющее условию 7 ≥ x.