Question

Докажите, что урaвнение х^2=9y^2 + 6xy не имеет решений натуральных чисел

Answer 1

X² = 9y² + 6xy
x² - 6xy - 9y² = 0        
x² - 6xy + 9y² - 18y² = 0
(x - y)² - 18y² = 0
(x - y - 3√2y)(x - y + 3√2y) = 0
x = y(1 + 3√2) = 0 или x = y(1 - 3√2)
Чтобы x получился рациональным, необходимо, чтобы y был иррациональный или равен нулю. Но по условию задачи y - натуральное число, а нуль и иррациональные числа не являются натуральными числами.
Значит, уравнение не имеет решений в натуральных числах. 

Answer 2

Уравнение х^2 = 9y^2 + 6xy и его решения

Для доказательства того, что уравнение х^2 = 9y^2 + 6xy не имеет решений в натуральных числах, мы можем использовать метод противоречия. Допустим, что существуют натуральные числа x и y, которые являются решениями этого уравнения.

Подставим значения x и y в уравнение и приведем его к более удобному виду:

x^2 - 6xy - 9y^2 = 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной x. Используя формулу дискриминанта, мы можем найти его значение:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -6y и c = -9y^2. Подставим эти значения и упростим выражение:

D = (-6y)^2 - 4(1)(-9y^2) = 36y^2 + 36y^2 = 72y^2

Теперь, чтобы уравнение имело решение в натуральных числах, дискриминант D должен быть полным квадратом натурального числа. Однако, поскольку D = 72y^2, мы видим, что 72 умножается на квадрат y^2.

Исходя из этого, мы можем заключить, что D не является полным квадратом натурального числа, так как 72 не является квадратом натурального числа. Это противоречит нашему предположению о существовании решений x и y для уравнения.

Таким образом, мы доказали, что уравнение х^2 = 9y^2 + 6xy не имеет решений в натуральных числах.

Примечание

Источник не содержит информации, которая может быть использована для подтверждения доказательства. Однако, доказательство основано на математической логике и принципах алгебры.