Question

Решите уравнение (Х-1)(х в квадрате+6x+9)=5(x+3)

Answer 1

(x-1)*(x²+6x+9) - 5*(x+3)=0
(x-1)*(x+3)² -5*(x+3)=0
(x+3)*((x-1)*(x+3) -5)=0
(x+3)*(x²+2x-8)=0
Все выражение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x+3 =0, x=-3
x²+2x-8=0, D=4+4*8=36=6²
x1=(-2+6)/2=2
x2=(-2-6)/2=-4
Ответ: -3, 2 и -4

Answer 2

Давайте решим это уравнение поэтапно.

1. Раскроем скобки по обеим сторонам уравнения: \((x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)\)

2. Распределим множитель 5 в скобке справа: \(x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9 = 5x + 15\)

3. Сгруппируем подобные члены: \(x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = 5x + 15\)

4. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \(x^3 + 5x^2 + 3x - 5x - 9 - 15 = 0\)

5. Упростим: \(x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0\)

Теперь у нас есть кубическое уравнение, которое мы можем попытаться решить различными способами. Я расскажу о двух наиболее распространенных методах решения кубических уравнений: методе подстановки и методе группировки.

Метод подстановки:

6. Допустим, что \(x = t - \frac{b}{3a}\), где \(t\) - новая переменная, \(a = 1\) (коэффициент перед \(x^3\)) и \(b = 5\) (коэффициент перед \(x^2\)).

7. Подставим это выражение в уравнение и приведем его к виду \(t^3 + pt + q = 0\), где \(p\) и \(q\) - новые коэффициенты.

8. В нашем случае получается: \((t - \frac{5}{3})^3 + 5(t - \frac{5}{3})^2 - 2(t - \frac{5}{3}) - 24 = 0\)

9. Упростим это уравнение и раскроем скобки: \(t^3 - 5t^2 + \frac{25}{3}t - \frac{125}{27} + 5t^2 - \frac{50}{3}t + \frac{125}{9} - 2t + \frac{10}{3} - 24 = 0\)

10. Сгруппируем подобные члены: \(t^3 - \frac{125}{27} - \frac{125}{9} - \frac{24}{1} + \frac{10}{3} - 5t^2 + 5t^2 + \frac{25}{3}t - \frac{50}{3}t - 2t = 0\)

11. Упростим: \(t^3 - \frac{125}{27} - \frac{375}{27} - \frac{72}{3} + \frac{10}{3} + \frac{15}{3}t - \frac{50}{3}t - 2t = 0\)

12. Сложим и упростим: \(t^3 - \frac{125 + 375 + 216 - 30 + 45}{27} - \frac{35 - 6}{3}t = 0\)

13. Приведем числитель общего знаменателя к общему знаменателю: \(t^3 - \frac{125 + 375 + 216 - 30 + 45}{27} - \frac{- 29}{3}t = 0\)

14. Упростим числитель: \(t^3 - \frac{125 + 375 + 216 - 30 + 45}{27} + \frac{29}{3}t = 0\)

Теперь мы получили кубическое уравнение вида \(t^3 + pt + q = 0\), которое можно решить с помощью методов решения кубических уравнений, например, методом Кардано или методом рациональных корней.

Метод группировки:

Второй метод решения кубических уравнений - метод группировки - может быть проще в некоторых случаях.

15. Посмотрим на уравнение \(x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0\).

16. Заметим, что 2 и 24 имеют общий делитель 2. Вынесем этот общий делитель из членов с \(x\) и из константы: \(x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0\) \(\Rightarrow 2(x^3 + \frac{5}{2}x^2 - x - 12) = 0\)

17. Теперь попробуем группировать члены по два: \(2((x^3 + \frac{5}{2}x^2) + (-x - 12)) = 0\) \(\Rightarrow 2(x^2(x + \frac{5}{2}) - (x + 12)) = 0\)

18. Теперь заметим, что \(x + \frac{5}{2}\) и \(x + 12\) имеют общий делитель \(x + 2\). Вынесем этот общий делитель: \(2(x + 2)(x^2 - 2x - \frac{5}{2}) = 0\)

19. Теперь у нас есть произведение трех множителей, равное нулю. Это означает, что один из множителей должен быть равен нулю: \(x + 2 = 0\) или \(x^2 - 2x - \frac{5}{2} = 0\)

20. Решим каждое уравнение по отдельности:

a) \(x + 2 = 0\) \(x = -2\)

b) \(x^2 - 2x - \frac{5}{2} = 0\) Мы можем решить это квадратное уравнение используя квадратное уравнение: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -\frac{5}{2}\): \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-\frac{5}{2})}}{2(1)}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 10}}{2}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}\) \(x = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}\)

Таким образом, решение уравнения \(x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0\) состоит из трех корней: \(x = -2\), \(x = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}\) и \(x = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал два метода решения кубических уравнений, чтобы показать различные подходы к решению. Вы можете выбрать любой из этих методов или использовать другие методы, которые вам более удобны.