Question

X^5+7x^4+12x^3-4x^2-13x-3 помогите найти целые корни многочлена

Answer 1

Применено свойство многочлена: целые корни могут быть только из простых делителей свободного слагаемого. Это можно проверить делением многочленов столбиком.

Answer 2

Для поиска целых корней многочлена, мы можем использовать теорему о рациональных корнях.

Теорема о рациональных корнях (или теорема о целых корнях) гласит, что если многочлен имеет рациональный корень p/q, где p и q не имеют общих делителей, то p должно быть делителем свободного члена многочлена, а q должно быть делителем коэффициента перед старшей степенью.

В данном случае, у нас есть многочлен:

f(x) = x^5 + 7x^4 + 12x^3 - 4x^2 - 13x - 3

Сначала нам нужно найти все возможные делители свободного члена и коэффициента перед старшей степенью. В данном случае, свободный член равен -3, а коэффициент перед старшей степенью равен 1.

Возможные делители свободного члена (-3) включают: -3, -1, 1, 3. Возможные делители коэффициента перед старшей степенью (1) включают: -1, 1.

Теперь нам нужно проверить каждую комбинацию делителей, чтобы найти рациональные корни. Это можно сделать, подставляя значения в многочлен и проверяя, равен ли результат нулю.

Начнем с делителей свободного члена:

- Подстановка x = -3: f(-3) = (-3)^5 + 7(-3)^4 + 12(-3)^3 - 4(-3)^2 - 13(-3) - 3 = -243 + 567 - 972 - 36 + 39 - 3 = -648. Результат не равен нулю. - Подстановка x = -1: f(-1) = (-1)^5 + 7(-1)^4 + 12(-1)^3 - 4(-1)^2 - 13(-1) - 3 = -1 + 7 - 12 - 4 + 13 - 3 = 0. Результат равен нулю. Значит, -1 является рациональным корнем.

Теперь попробуем делители коэффициента перед старшей степенью:

- Подстановка x = -1: f(-1) = (-1)^5 + 7(-1)^4 + 12(-1)^3 - 4(-1)^2 - 13(-1) - 3 = -1 + 7 - 12 - 4 + 13 - 3 = 0. Результат равен нулю. Значит, -1 является рациональным корнем.

Таким образом, мы нашли два рациональных корня: x = -1. Чтобы найти остальные корни, мы можем поделить наш исходный многочлен на (x + 1) и найти корни полученного квадратного уравнения.