Question

найти наибольшее значение выражения 3sin x - 4cos x

Answer 1

Используем метод введения дополнительного угла:
$3sinx - 4cosx = 5(sinx \dfrac{3}{5} - cosx\dfrac{4}{5}) = \\ \\ = 5(sinx \cdot cos(arccos\dfrac{3}{5} ) - cosx \cdot sin(arcsin \dfrac{4}{5}) )= \\ = 5(sin(x - arcsin \dfrac{4}{5}) )$
Мы знаем, что sinA может принимать значения в пределах от -1 до 1, поэтому наибольшее значение будет равняться 5.
Ответ: 5.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения 3sin(x) - 4cos(x), мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

3sin(x) - 4cos(x) = 5(sin(x) * (3/5)) - 4cos(x)

Замечаем, что это представление является выражением вида a*sin(x) - b*cos(x), где a = 5 * (3/5) = 3 и b =

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения выражения `3sin(x) - 4cos(x)`, мы можем использовать математические методы, такие как дифференцирование и решение уравнений. Давайте разберемся в этом подробнее.

Метод дифференцирования:

1. Дифференцируем выражение `3sin(x) - 4cos(x)` по переменной `x`: - Производная `sin(x)` по `x` равна `cos(x)`. - Производная `cos(x)` по `x` равна `-sin(x)`. - Производная постоянного множителя равна 0. - Производная суммы равна сумме производных. Таким образом, производная выражения равна `3cos(x) + 4sin(x)`.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: - Решим уравнение `3cos(x) + 4sin(x) = 0` для `x`. - Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем к общему знаменателю: `3cos(x) = -4sin(x)`. - Разделим обе части на `cos(x)` (предполагая, что `cos(x) ≠ 0`): `3 = -4tan(x)`. - Решим полученное уравнение для `x`. Это можно сделать, находя значения `x`, для которых `tan(x) = -3/4`. - Ответы будут в виде `x = arctan(-3/4) + nπ`, где `n` - целое число.

3. Оценим значения выражения в найденных точках: - Подставим найденные значения `x` в исходное выражение `3sin(x) - 4cos(x)` и вычислим результат. - Выберем наибольшее значение из полученных результатов. Это будет наибольшее значение выражения `3sin(x) - 4cos(x)`.

Численный метод:

1. Мы также можем использовать численный метод, такой как метод Ньютона, чтобы найти точку максимума выражения `3sin(x) - 4cos(x)`. 2. Для этого нам понадобится начальное приближение для `x`. 3. Мы можем выбрать начальное приближение итеративно, выбирая разные значения `x` в заданном интервале и вычисляя значение выражения `3sin(x) - 4cos(x)` для каждого из них. 4. Затем мы можем применить метод Ньютона, чтобы найти точку максимума выражения, используя выбранное начальное приближение.

Пример кода:

```python import math

# Метод дифференцирования def find_maximum(): x_values = [math.atan(-3/4) + n * math.pi for n in range(-10, 10)] # Выбираем значения x values = [3 * math.sin(x) - 4 * math.cos(x) for x in x_values] # Вычисляем значения выражения maximum_value = max(values) # Находим наибольшее значение maximum_index = values.index(maximum_value) # Находим индекс наибольшего значения maximum_x = x_values[maximum_index] # Находим соответствующее значение x

return maximum_x, maximum_value

# Численный метод def find_maximum_numerical(): def f(x): return 3 * math.sin(x) - 4 * math.cos(x) def f_prime(x): return 3 * math.cos(x) + 4 * math.sin(x) # Выбираем начальное приближение start_x = 0 # Используем метод Ньютона для нахождения точки максимума for _ in range(10): x_next = start_x - f(start_x) / f_prime(start_x) start_x = x_next maximum_x = start_x maximum_value = f(start_x) return maximum_x, maximum_value

# Вызов функций maximum_x, maximum_value = find_maximum() maximum_x_numerical, maximum_value_numerical = find_maximum_numerical()

print(f"Максимальное значение: {maximum_value} при x = {maximum_x}") print(f"Максимальное значение (численный метод): {maximum_value_numerical} при x = {maximum_x_numerical}") ```

Примечание: В приведенном коде мы используем модуль `math` из стандартной библиотеки Python для вычисления значения синуса, косинуса и арктангенса. Если вы пишете код на другом языке программирования, вам может потребоваться использовать соответствующие функции из стандартной библиотеки вашего языка.