Question

Помогите, пожалуйста, решить используя замену переменной 2tg^2x+3=3/cosx

Answer 1

2tg²x+3=3/cosx
2sin²x/cos²x+3=3/cosx
(2sin²x+3cos²x)/cos²x=3/cosx
(2sin²x+3cos²x)/cos²x=3/cosx
(2sin²x+3cos²x)/cosx=3
2sin²x+3cos²x=3cosx
cos²x+2=3cosx
cos²x-3cosx+2=0
y²-3y+2=0, y=cosx
y1=2, y2=1

cosx=2 --> ∅
cosx=1 --> x=2πn, n∈Z
Ответ:  x=2πn, n∈Z

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(2\tan^2(x) + 3 = \frac{3}{\cos(x)}\) с использованием замены переменной. Для начала давайте введем новую переменную \(u = \tan(x)\). Тогда \(\tan^2(x) = u^2\).

Подставим новую переменную в уравнение:

\[2u^2 + 3 = \frac{3}{\cos(x)}\]

Теперь давайте выразим \(\cos(x)\) через \(u\), используя тождество \(\cos^2(x) = \frac{1}{1 + \tan^2(x)}\):

\[\cos^2(x) = \frac{1}{1 + u^2}\]

\[\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}\]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[2u^2 + 3 = \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}}\]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на \(\sqrt{1 + u^2}\):

\[2u^2\sqrt{1 + u^2} + 3\sqrt{1 + u^2} = 3\]

Теперь давайте приведем подобные члены и переносим все на одну сторону уравнения:

\[2u^2\sqrt{1 + u^2} - 3\sqrt{1 + u^2} + 3 = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(u\). Давайте введем временную переменную \(v = \sqrt{1 + u^2}\):

\[2u^2v - 3v + 3 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(v\). Решим его, и затем найдем значения переменной \(u\), а затем вернемся к переменной \(x\), используя \(u = \tan(x)\).

\[2u^2v - 3v + 3 = 0\]

\[2u^2v - 3v + 3 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(v\), используя квадратное уравнение. Формула для корней квадратного уравнения: \(v = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24u^2}}{4u^2}\).

Теперь заменяем \(v\) обратно:

\[\sqrt{1 + u^2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24u^2}}{4u^2}\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[1 + u^2 = \frac{(3 \pm \sqrt{9 - 24u^2})^2}{16u^4}\]

Упрощаем:

\[16u^4 + 16u^2 = (3 \pm \sqrt{9 - 24u^2})^2\]

Отсюда можно получить квадратное уравнение относительно \(u\):

\[16u^4 + 16u^2 = 9 \pm 6\sqrt{9 - 24u^2} + 9 - 24u^2\]

Решив это уравнение, найдем значения \(u\), а затем вернемся к переменной \(x\) с использованием \(u = \tan(x)\).