Question

Решите уравнение: Sqrt(x-6)+sqrt(x-1)+2*sqrt(x^2+5x-6)= 51-2x

Answer 1

$\mathtt{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x^2+5x-6}=51-2x=}\\\mathtt{51-x-x-6+6-1+1=51-(x+6)+6-(x-1)-1}$

найдём корни находящегося под корнем квадратного трёхчлена, чтобы разложить его на множители; по теореме, обратной теореме Виета, находим корни уравнения $\mathtt{x^2+5x-6=0}$: $\mathtt{x_1=-6}$, $\mathtt{x_2=1}$

итак, исходное уравнение: 
$\mathtt{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}=56-(x+6)-(x-1)}$

прибегнем к замене $\displaystyle\mathtt{\left\{{{\sqrt{x+6}=a,~a\geq0}\atop{\sqrt{x-1}=b,~b\geq0}}\right}$, тогда $\mathtt{a+b+2ab=56-a^2-b^2}$

перенесём всё влево и сгруппируем: 
$\mathtt{a^2+2ab+b^2+a+b-56=0;~(a+b)^2+(a+b)-56=0}$

прибегнем к замене $\mathtt{a+b=t,~t\geq0}$ (ведь выражения $\mathtt{a}$ и $\mathtt{b}$ неотрицательны) и по теореме, обратной теореме Виета, найдём корни уравнения $\mathtt{t^2+t-56=0}$: $\mathtt{t_1=-8}$ (не удовлетворяет ограничениям, приведённым выше), $\mathtt{t_2=7}$

обратная замена: $\mathtt{a+b=\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7}$; решим уравнение, возведя обе части в квадрат (делать это можно постольку, поскольку обе части уравнения неотрицательны): 

$\mathtt{(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1})^2=7^2;~x+6+2\sqrt{x^2+5x-6}+x-1=49;~}\\\mathtt{\left\{{{(\sqrt{x^2+5x-6})^2=(22-x)^2}\atop{22-x\geq0}}\right\left\{{{x^2+5x-6=x^2-44x+484}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{5x+44x=484+6}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{49x=490}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{x=10}\atop{x\leq22}}\right}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x=10}$

Answer 2

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{x^2+5x-6}= 51-2x\\\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{(x+6)(x-1)}= 51+6-1-x-6-x+1\\\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{x+6}*\sqrt{x-1}= 56-(x+6)-(x-1)$

$> <img src=$

Answer 3

Конечно, давайте решим уравнение пошагово.

У нас есть уравнение:

\[ \sqrt{x-6} + \sqrt{x-1} + 2\sqrt{x^2+5x-6} = 51 - 2x \]

1. Перенесем все слагаемые с корнями на одну сторону уравнения:

\[ \sqrt{x-6} + \sqrt{x-1} + 2\sqrt{x^2+5x-6} - 51 + 2x = 0 \]

2. Избавимся от корней, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

\[ \left( \sqrt{x-6} + \sqrt{x-1} + 2\sqrt{x^2+5x-6} - 51 + 2x \right)^2 = 0 \]

3. Раскроем квадрат и упростим уравнение.

\[ (x-6) + 2\sqrt{(x-6)(x-1)} + 4(x^2+5x-6) + (x-1) + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} + 4(x^2+5x-6) \] \[ - 102(x-6) + 2(x-1)(x-6) + 2(x-1)(x-6) + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} - 102(x-1) \] \[ + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} + 16(x^2+5x-6) = 0 \]

4. Упростим дальше:

\[ - 102x + 612 + 2x^2 - 14x + 24 + 2x^2 - 2x - 4 + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} - 102x + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} - 102 + 4\sqrt{(x-6)(x-1)} + 16x^2 + 80x - 96 = 0 \]

\[ 4x^2 - 234x + 544 + 12\sqrt{(x-6)(x-1)} = 0 \]

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения и поделим обе стороны на 4:

\[ x^2 - 58.5x + 136 + 3\sqrt{(x-6)(x-1)} = 0 \]

6. Избавимся от корня, возведя в квадрат:

\[ 9(x^2 - 58.5x + 136) = (x-6)(x-1) \]

7. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 9x^2 - 526.5x + 1224 = x^2 - 7x + 6 \]

\[ 8x^2 - 519.5x + 1218 = 0 \]

8. Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

где \( a = 8 \), \( b = -519.5 \), и \( c = 1218 \).

\[ x = \frac{519.5 \pm \sqrt{(-519.5)^2 - 4(8)(1218)}}{2(8)} \]

\[ x = \frac{519.5 \pm \sqrt{2691361 - 38976}}{16} \]

\[ x = \frac{519.5 \pm \sqrt{2652385}}{16} \]

\[ x = \frac{519.5 \pm 1627.051}{16} \]

Таким образом, получаем два значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{519.5 + 1627.051}{16} \] \[ x_2 = \frac{519.5 - 1627.051}{16} \]

После вычислений, получим числовые значения \( x_1 \) и \( x_2 \).